2016　同志社大　文化情報学部2月27日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　$f(x)={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^4-{\displaystyle \frac{5}{3}}{\left|x\right|}^3+x^2+8\left|x\right|$のとき，$x>0$の範囲で$f^{\prime }(x)=0$を満たす$x$の個数は$\boxed{\text{ア}}$である．$-3\leqq x\leqq 1$の範囲での$f(x)$の最大値は$\boxed{\text{イ}}$であり，最小値は$\boxed{\text{ウ}}$である．また，$3\leqq x\leqq 5$の範囲での$f(x)$の最大値は$\boxed{\text{エ}}$であり，最小値は$\boxed{\text{オ}}$である．次に，$y=f(x)$のグラフと直線$y=k$の共有点の個数が$2$となる$k$の値の範囲は$\boxed{\text{カ}}$である．また，$y=f(x)$のグラフと直線$y=k$の共有点の個数の最大値は$\boxed{\text{キ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　$x\text{，}y$を正の整数で，$2016=2^{x+y}-2^x$を満たすとすると，$x=\boxed{\text{ク}}$であり，$y=\boxed{\text{ケ}}$である．また，$2016$を$2$進数で表すと$\boxed{\text{コ}}$となる．

【２】　数列$\{a_n\}$$\text{（}n=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$は$m=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots$に対し

$\begin{array}{lll}n=3m& \text{のとき}& a_{n+1}=a_n+1\\ n=3m+1& \text{のとき}& a_{n+1}=2a_n\\ n=3m+2& \text{のとき}& a_{n+1}=a_n-1\end{array}$

を満たす．$a_0=0\text{，}$$a_1=1$として，次の問いに答えよ．

(1)　$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4\text{，}$$a_5\text{，}$$a_6$をそれぞれ求めよ．

(2)　$a_{3m+4}$を$a_{3n+1}$を用いて表せ．

(3)　$a_{3m+1}$を$m$を用いて表せ．

(4)　$a_{3m+2}$と$a_{3m+3}$を$m$を用いてそれぞれ表せ．

(5)　$S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n$とする．$n=3m$$\text{（}m=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$のとき$S_n$を$m$を用いて表せ．

【３】　$\mathrm{▵OAB}$において$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，それぞれ$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=2\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\overrightarrow{b}$となるように，点$\mathrm{C}\text{，}$点$\mathrm{D}$をとる．直線$\mathrm{CD}$に関して点$\mathrm{B}$と対称な点を点$\mathrm{E}$とする．また，直線$\mathrm{CD}$上に動点$\mathrm{P}$をとる．このとき次の問いに答えよ．ただし，$\left|\overrightarrow{a}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=3\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=3$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$L=\mathrm{AP}+\mathrm{BP}$とする．点$\mathrm{P}$が直線$\mathrm{CD}$上を動くとき$L$が最小となるときの点$\mathrm{P}$を点$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．また，そのときの最小値を求めよ．

(3)　平面上の点$\mathrm{Q}$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=u\overrightarrow{a}+v\overrightarrow{b}$（$u\text{，}$$v$は実数）としたとき，$R$$\text{（}\sqrt{2}R>\mathrm{AB}\text{）}$を定数として${\mathrm{AQ}}^2+{\mathrm{BQ}}^2=R^2$を満たす点$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{AB}$の中点を中心とした円$S$上にあることを示し，円$S$の半径$r$を$R$を用いて表せ．

(4)　$M={\mathrm{AP}}^2+{\mathrm{BP}}^2$とする．点$\mathrm{P}$が直線$\mathrm{CD}$上を動くとき$M$が最小となるときの点$\mathrm{P}$を点$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．また，そのときの$M$の最小値を求めよ．