2018　山形大学　前期MathJax

【１】　原点を出発点とし，$x$軸上を動く点$\mathrm{P}$がある．白球$6$個と黒球$4$個が入っている袋から球を$1$個ずつ取り出す．取り出した球が白球であれば点$\mathrm{P}$は正の方向に$1$だけ進み，黒球であれば点$\mathrm{P}$は負の方向に$1$だけ進むこととする．ただし，取り出した球は袋に戻さない．このとき，次の問に答えよ．

(1)　球を$2$回取り出すとき，点$\mathrm{P}$が原点にある確率を求めよ．

(2)　球を$8$回取り出すとき，点$\mathrm{P}$の座標が$2$である確率を求めよ．

(3)　球を$6$回取り出すとき，$2$回目かつ$6$回目で点$\mathrm{P}$が原点にある確率を求めよ．

(4)　球を$6$回取り出すとき，$6$回目で点$\mathrm{P}$の座標が初めて$4$となる確率を求めよ．

【２】　曲線$y=2x^2$を$C_1$とし，$C_1$上の点$(1,2)$における接線を$L$とする．$2$点$(1,2)\text{，}(3,2)$を通り，点$(1,2)$における接線が$L$となる曲線$y=a{x}^2+bx+c$を$C_2$とする．ただし，$a\text{，}b\text{，}c$は定数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　接線$L$の方程式を求めよ．

(2)　$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．

(3)　$k>0$を定数とし，曲線$C_2$と直線$y=kx$が異なる$2$点で交わるとき，次の(ⅰ)，(ⅱ)に答えよ．

(ⅰ)　$2$交点の$x$座標$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$を$k$を用いて表せ．

(ⅱ)　直線$y=kx$と曲線$C_1$で囲まれた図形の面積を$S_1$とし，直線$y=kx$と曲線$C_2$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1=S_2$のときの$k$の値を求めよ．

【３】　座標空間において，点$\mathrm{O}$を原点とし，$4$点$\mathrm{A}(1,2,1)\text{，}\mathrm{B}(2,-1,-3)\text{，}\mathrm{C}(1,1,1)\text{，}\mathrm{D}(3,2,-1)$がある．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$\angle \mathrm{AOB}=\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

(2)　$▵\mathrm{AOB}$の面積を求めよ．

(3)　$2$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}$を通る直線を$L_1\text{，}2$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線を$L_2$とする．直線$L_1$上に点$\mathrm{E}\text{，}$直線$L_2$上に点$\mathrm{F}$をとる．ここで，点$\mathrm{E}$と点$\mathrm{F}$は異なるとする．いま，$\overrightarrow{\mathrm{EF}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は垂直で，$2$点$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$を通る直線$L_3$が点$\mathrm{D}$を通るとき，次の(ⅰ)，(ⅱ)に答えよ．

(ⅰ)　直線$L_3$と$xy$平面との交点の座標を求めよ．

(ⅱ)　点$\mathrm{B}$と直線$L_3$上の点との距離の最小値を求めよ．

（編注）2022年札幌医科大学　前期【２】で改変して活用

【４】　次の各問に答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が

$S_n={\displaystyle \frac{\sqrt{2}n(n+1)(2n+7)}{6}}$

で表されるとき，次の(ⅰ)，(ⅱ)に答えよ．

(ⅰ)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(ⅱ)　$a_n>220$となる最小の自然数$n$を求めよ．

(2)　数列$\{b_n\}$が

$b_1=417\text{，}{b}_{n+1}=b_n+2n-42\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められているとき，次の(ⅰ)，(ⅱ)に答えよ．

(ⅰ)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(ⅱ)　$b_n<0$となるすべての自然数$n$を求めよ．

【５】　曲線$y=\log x\text{（}x>0\text{）}$を$C$とする．$a>1$とし，点$(1,0)$における曲線$C$の接線を$L_1\text{，}$点$\mathrm{A}(a,\log a)$における曲線$C$の接線を$L_a$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }{(\log x)}^{2}dx$を求めよ．

(2)　直線$L_a$の方程式および直線$L_1$と直線$L_a$の交点の $x$座標を求めよ．

(3)　$2$直線$L_1\text{，}{L}_a$と曲線$C$で囲まれた図形の面積を$S(a)$とするとき，極限値$\underset{a\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S(a)}{a}}$を求めよ．ただし，$\underset{a\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{(\log a)}^k}{a}}=0\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を用いてよい．

(4)　$2$直線$L_1\text{，}{L}_2$と曲線$C$で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を$V(a)$とするとき，極限値$\underset{a\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{V(a)}{a\log a}}$を求めよ．ただし，$\underset{a\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{(\log a)}^k}{a}}=0\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を用いてよい．

【６】　$i$を虚数単位とし，複素数$\alpha$に対してその共役な複素数を$\bar{\alpha }$で表す．$z_1=i$とし，複素数$z_1\text{，}{z}_2\text{，}\cdots \text{，}{z}_n\text{，}\cdots$が

$z_{n+1}=z_n+{(-{\displaystyle \frac{4}{5}}i)}^n\times i\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．また，${\gamma }_n=-1\times \overline{z_{}}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　複素数$z_2\text{，}{z}_4$を求めよ．

(2)　複素数${\gamma }_2\text{，}{\gamma }_4$を求めよ．

(3)　自然数$m$に対して，複素数${\gamma }_{2m}$の実部を$a_m\text{，}$虚部を$b_m$とする．極限値$\underset{m\to \infty }{\lim }{a}_m$と$\underset{m\to \infty }{\mathrm{llim}}{b}_n$を求めよ．

(4)　$a=\underset{m\to \infty }{\lim }{a}_m\text{，}b=\underset{m\to \infty }{\lim }{b}_m$とし，$\gamma =a+bi\text{，}z=-i\times \bar{\gamma }$とする．複素数平面において，点$z$を点$\gamma$のまわりに${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$だけ回転して得られる点を表す複素数$w$を求めよ．

【１】　$xy$平面上を動く点$\mathrm{P}(x,y)$の時刻$t$における座標が以下のように与えられている．

$x=\cos (t+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})\text{，}y=\cos (t-{\displaystyle \frac{\pi }{6}})$

以下の問いに答えよ．

問１　点$\mathrm{P}$の時刻$t$における速度を求めよ．

問２　点$\mathrm{P}$の加速度の大きさが最大になる時刻$t$を求めよ．

問３　$x^2-xy+y^2$は時刻$t$に依存しない定数であることを示せ．

問４　$-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$の間に点$\mathrm{P}$が描く軌跡を$y=f(x)$として表せ．

問５　関数$y=f(x)$の増減を調べ，その概形を描け．

【２】　$y=e^x$で与えられる曲線を$C$とする．以下の問いに答えよ．

問１　曲線$C$に引いた接線のうち，原点を通る接線$l$の方程式を求めよ．

問２　曲線$C\text{，}$接線$l\text{，}$および$y$軸で囲まれる図形$S$の面積を求めよ．

問３　図形$S$を$x$軸のまわりに$1$回転させて得られる立体の体積を求めよ．

問４　図形$S$を$y$軸のまわりに$1$回転させて得られる立体の体積を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)=\tan x+{\displaystyle \frac{1}{\tan x}}$について，微分係数$f^{\prime }\left({\displaystyle \frac{\pi }{8}}\right)$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$xy$平面上に曲線$C\text{：}y=(1-x)(2x+|x|+1)$がある．$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$a$を実数の定数とする．連立不等式

$\{\begin{array}{l}|x-1|\leqq 2\\ x^2-(2a+3)x+a^2+3a-10\leqq 0\end{array}$

を満たす実数$x$が存在するように，$a$の値の範囲を求めよ．

【２】　関数$f(x)=x{e}^{-x}\text{（}x\geqq 0\text{）}$がある．$xy$平面において，曲線$C\text{：}y=f(x)$上の変曲点における法線を$l$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x>0$のとき，$f^{\prime }(x)$および$f^{″}(x)$を求めよ，

(2)　曲線$C$の概形をかけ．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }x{e}^{-x}=0$を用いてよい．

(3)　直線$l$の方程式を求めよ．

(4)　曲線$C\text{，}$直線$l$および直線$x=1$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【３】　$xy$平面上の曲線$C\text{：}y=2\sin x\cos x-k(\sin x+\cos x+1)(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}\pi )$について，次の問いに答えよ．ただし，$k$は定数とする．

(1)　$t=\sin x+\cos x+1$とおく．

(ⅰ)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}\pi$のとき，$t$の値の範囲を求めよ．

(ⅱ)　$2\sin x\cos x-k(\sin x+\cos x+1)=t^2-(k+2)t$を示せ．

(2)　$k=0$のとき，曲線$C$と$x$軸との共有点の$x$座標をすべて求めよ．

(3)　曲線$C$が$x$軸と共有点を$2$個もつように，$k$の値の範囲を定めよ．

【４】　数列$\{a_n\}$を

$a_1=1\text{，}{a}_2=\pi \text{，}{a}_{n+2}={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}(a_{n+1}x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}{a}_n)\cos xdx\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定義するとき，次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}x\cos xdx={\displaystyle \frac{\pi }{2}}-1$を示せ．

(2)　数列$\{b_n\}$を$b_n=a_{n+1}+a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定める．$\{b_n\}$は等比数列であることを示し，その一般項を求めよ．

(3)　数列$\{c_n\}$を$c_n=a_{n+1}-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}{a}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定める．$\{c_n\}$は等比数列であることを示し，その一般項を求めよ．

(4)　(2)と(3)の結果を用いて，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(5)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}$の値を求めよ．