2022　札幌医科大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$i$は虚数単位である．複素数平面上で，方程式$|z+3i|=2\left|z\right|$を満たす図形と方程式$|z-4i|=\left|z\right|$を満たす図形の共有点を表す複素数をすべて求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項が

$a_n=\sqrt[n]{(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})(1+{\displaystyle \frac{2}{n}})\cdots (1+{\displaystyle \frac{n}{n}})}$

であるとき$\underset{n\to \infty }{\lim }\log a_n$を求めよ．ただし，対数は自然対数とする．

(編注）2017年　愛媛大学　前期【６】(4)を改変して活用

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{2x+1}{x+2}}$$\text{（}x>0\text{）}$に対して

$f_1(x)=f(x)\text{，}$$f_n(x)=(f\circ f_{n-1})(x)$$\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とおく．次の(ⅰ)，(ⅱ)に答えよ．

(ⅰ)　$f_2(x)\text{，}$$f_3(x)\text{，}$$f_4(x)$を求めよ．

(ⅱ)　自然数$n$に対して$f_n(x)$の式を推測し，その結果を数学的帰納法を用いて証明せよ．

【２】　原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に，$4$点$\mathrm{A}$$(1,2,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,-1,-3)\text{，}$$\mathrm{C}$$(1,1,1)\text{，}$ $\mathrm{D}$$(3,2,-1)$がある．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{OAB}$の面積を求めよ．

(2)　$2$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}$を通る直線を$L_1\text{，}$$2$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る直線を$L_2$とする．直線$L_1$上に点$\mathrm{E}\text{，}$直線$L_2$上に点$\mathrm{F}$をとる．ここで，点$\mathrm{E}$と点$\mathrm{F}$は異なるとする．いま，$\overrightarrow{\mathrm{EF}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は垂直で，$2$点$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$を通る直線$L_2$が点$\mathrm{D}$を通るとする．次の(ⅰ)，(ⅱ)に答えよ．

(ⅰ)　直線$L_3$と$xy$平面との交点の座標を求めよ．

(ⅱ)　点$\mathrm{B}$と直線$L_3$上の点との距離の最小値を求めよ．

(編注）2018年　山形大学前期人文社会科(人文社会科学科),理(数学分野),医(医学科),農(食料生命環境学科)学部【３】を改変して活用

【３】　$n$は$5$以上の自然数とする．赤玉$3$個と白玉$7$個が入っている袋から玉を$1$個取り出し，色を確認してからもとに戻すという試行を$n$回行う．以下の問いに答えよ．

(1)　$n$回目に$3$度目の赤玉が出る確率を求めよ．

(2)　赤玉が$2$度以上連続することなくちょうど$3$度出る確率を求めよ．

(3)　$n$回目に$3$度目の赤玉が出たとき，赤玉が$2$度以上連続することなく$3$度出ている条件付き確率を求めよ．

(編注）2017年熊本大学前期教育,医(看護学専攻)学部【２】を改変して活用

【４】　次の問いに答えよ．ただし，$3.14<\pi <3.15$を用いてもよい．

(1)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において，次の不等式が成り立つことを証明せよ．

${\displaystyle \frac{2}{\pi }}x\leqq \sin x\leqq x$

(2)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において，$D_1$を曲線$y=\sin x$と直線$y={\displaystyle \frac{2}{\pi }}x$で囲まれた図形とし，$D_2$を曲線$y=\sin x$と$2$直線$y=x\text{，}$$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で囲まれた図形とする．次の(ⅰ)，(ⅱ)に答えよ．

(ⅰ)　$D_1\text{，}$$D_2$の面積をそれぞれ求め，どちらの面積が大きいか調べよ．

(ⅱ)　$D_1$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．

(編注）2012年お茶の水女子大学前期理学部選択【２】を改変して活用