2018　東京理科大学　経営学部B方式2月2日実施MathJax

【１】　定数$a\text{，}$$b$はともに正の整数とし，実数の定数$t$について，次の$2$つの条件を考える．

すべての実数$x$に対して，$x^2+2(t-3)x+1>0$である$\cdots \text{①}$

すべての実数$x$に対して，$x^2-2(t-a)x+4-b^2>0$である$\cdots \text{②}$

(1)　条件$\text{①}$を満たすような$t$のとりうる値の範囲を求めなさい．

(2)　条件$\text{①}$と$\text{②}$をともに満たす$t$が存在するような$a\text{，}$$b$の値の組$(a,b)$をすべて求めなさい．

【２】　放物線$C\text{：}y=x^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}$上の点$\mathrm{P}$が$x<0$の範囲にあり，$\mathrm{P}$における$C$の法線$l$が再び$C$と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．また，$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　原点を$\mathrm{O}$とするとき，$\mathrm{▵OPQ}$の面積$S_1$を$p$で表しなさい．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$と$C$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．(1)で求めた$S_1$に対し，$S_2=12S_1$となるような$p$の値を求めなさい．

(3)　点$\mathrm{R}$の座標が$({\displaystyle \frac{3}{2}}p,2p^2-{\displaystyle \frac{1}{2}})$であるとき，$\mathrm{▵PQR}$の面積を$S_3$とする．(1)で求めた$S_1$に対し，$S_3=4S_1$となるような$p$の値を求めなさい．

【３】　実数$x\text{，}$$y$が条件$x^2+xy+y^2=9$を満たしながら動くとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$x+y$のとりうる値の範囲を求めなさい．

(2)　$x^{2}y+x{y}^2-x^2-2xy-y^2+x+y$のとりうる値の範囲を求めなさい．

【４】　半径$1$の円に内接する正$2n$角形について以下の問いに答えなさい．ただし，$n$は$2$以上とする．

(1)　対角線の総数を求めなさい．

(2)　正$2n$角形の$1$つの頂点を${\mathrm{A}}_0$とする．${\mathrm{A}}_0$を端点とする対角線に関して，最も短い対角線の長さを$l_1\text{，}$$2$番目に短い対角線の長さを$1_2\text{，}$と以下同様に表し，最も長い対角線の長さを$I_{n-1}$とする．$l_1$を求めなさい．

(3)　(2)において，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}{l}_k$

を求めなさい．

【１】　次の文章中の$\text{ア}$から$\text{ス}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，$$は$2\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数，$$は$3\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数である．

　右の図のような，等間隔の格子状の道路があり，$\mathrm{A}$が点$\mathrm{P}$から点$\mathrm{Q}$へ，$\mathrm{B}$が点$\mathrm{R}$から点$\mathrm{S}$へ，最短経路を通って移動する．最短経路のうち，どれが選ばれるかは同様に確からしいとする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$\mathrm{A}$の選択可能な最短経路の総数は$\text{ア}\text{イ}$通りである．

(2)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が同時に出発し，かつ等しい速さで移動するとき，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$がいずれかの交差点で出会う確率は${\displaystyle \frac{\text{ウ}\text{エ}\text{オ}}{\text{カ}\text{キ}\text{ク}}}$である．

(3)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が同時に出発し，$\mathrm{B}$が$\mathrm{A}$の$1.5$倍の速さで移動するとき，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$がいずれかの交差点で出会う確率は${\displaystyle \frac{\text{ケ}\text{コ}}{\text{サ}\text{シ}\text{ス}}}$である．

【２】　数列$\{a_n\}$が次のように定められている．

　次の問いに答えなさい．

(1)　$a_{3250}$を求めなさい．

(2)　$a_n=123$となる最小の自然数$n$を求めなさい．

(3)　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$S_{5200}-S_{5150}$の整数部分を求めなさい．

【３】　$a$を定数として，関数$f(x)=x^4+a{x}^2+6$は，$x={\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}}$で極値をもつとする．このとき，次の問いに答えなさい．（ただし，正の整数$n$について，$x^n$の導関数が$n{x}^{n-1}$であることを使ってよい．）

(1)　定数$a$の値を求めなさい．

(2)　$x\geqq 0\text{，}$$y\leqq 0$の範囲において，曲線$y=f(x)$と$x$軸によって囲まれた図形の面積を求めなさい．