2018　東京理科大学　理工学部B方式2月3日実施MathJax

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ン}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．なお，$\boxed{\text{キ}}$などは既出の$\boxed{\text{キ}}$を表す．

(1)　$2$次関数

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-{\displaystyle \frac{9}{2}}x+c$

のグラフを$F$とし，放物線$F$は点$(1,7)$を通るものとする．このとき，$c=\boxed{\text{ア}\text{イ}}$であり，放物線$F$は頂点が$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}})$で，$2$点$(7,\boxed{\text{キ}})\text{，}(\boxed{\text{キ}},\boxed{\text{ク}})$を通る．

　この$f(x)$を用いて，数列$\{a_n\}$を

$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=f(a_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定めると，初項から第$20$項までの和

$a_1+a_2+a_3+\cdots +a_{20}$

は$\boxed{\text{ケ}\text{コ}}$である．また，無限級数

${\displaystyle \frac{a_1}{10}}+{\displaystyle \frac{a_2}{{10}^2}}+{\displaystyle \frac{a_3}{{10}^3}}+\cdots +{\displaystyle \frac{a_n}{{10}^n}}+\cdots$

は収束して，その和$S$は循環小数であり分数に直すと$S={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}\text{セ}\text{ソ}}}}$となる．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ン}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．なお，$\boxed{\text{キ}}$などは既出の$\boxed{\text{キ}}$を表す．

(2)(a)　三角関数の加法定理により

$\sin ({\displaystyle \frac{1}{12}}\pi )=\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{タ}}}}-{\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{チ}}}})-{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ツ}}}}(\sqrt{\boxed{\text{テ}}}-\sqrt{\boxed{\text{ト}}})$

$\cos ({\displaystyle \frac{7}{12}}\pi )={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ナ}}}}(\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}-\sqrt{\boxed{\text{ヌ}}})$

が分かる．

(b)　係数が実数である$3$次方程式

$x^3+a{x}^2+bx+c=0\cdots \text{①}$

が$3$つの解$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$をもち，$\gamma =\sqrt{2}\cos ({\displaystyle \frac{7}{12}}\pi )$であるとする．因数定理から$\text{①}$は適当な実数$p\text{，}q$に対して

$(x-\gamma )(x^2+px+q)=0$

と書ける．複素数平面上で，$\alpha$の絶対値は$1\text{，}$偏角$\arg \alpha$は$0\leqq \arg \alpha \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲にあり，$3$点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}\mathrm{B}(\beta )\text{，}\mathrm{C}(\gamma )$を頂点とする$▵\mathrm{ABC}$は直角三角形であるとする．このとき$\arg \alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}\pi$であり，

$a={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ハ}}}}(-\boxed{\text{ヒ}}+\sqrt{\boxed{\text{フ}}})\text{，}b={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ハ}}}}(\boxed{\text{ヘ}}-\sqrt{\boxed{\text{ホ}}})$

$c={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ハ}}}}(-\boxed{\text{マ}}+\sqrt{\boxed{\text{ミ}}})$

であることが分かる．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ン}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．なお，$\boxed{\text{キ}}$などは既出の$\boxed{\text{キ}}$を表す．

(3)　座標空間に$2$点

$\mathrm{A}(-3,4,2\sqrt{3})\text{，}\mathrm{B}(0,0,\sqrt{3})$

をとり，座標空間の$xy$平面上で原点$\mathrm{O}(0,0,0)$を中心とする半径$1$の円の周上の動点を$\mathrm{P}$とする．以下では，動点$\mathrm{P}$はこの円周全体を動くものとする．

　内積$\overrightarrow{\mathrm{BA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}$のとり得る値の範囲は

$-\boxed{\text{ム}}\leqq \overrightarrow{\mathrm{BA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}\leqq \boxed{\text{メ}}$

である．線分$\mathrm{AP}$の長さの最大値は$\boxed{\text{モ}}\sqrt{\boxed{\text{ヤ}}}$であり，最小値は$\boxed{\text{ユ}}\sqrt{\boxed{\text{ヨ}}}$である．線分$\mathrm{AP}$の長さが最大となるのは，点$\mathrm{P}$の座標が$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ラ}}}{\boxed{\text{リ}}}},-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ル}}}{\boxed{\text{レ}}}},0)$のときである．また，$▵\mathrm{ABP}$の面積の最大値は$\boxed{\text{ロ}}\sqrt{\boxed{\text{ワ}}}$であり，最小値は$\boxed{\text{ヲ}}\sqrt{\boxed{\text{ン}}}$である．

【２】　関数$f(x)$を次で定める．

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x+7}}}\text{（}x>-7\text{）}$

(1)　座標平面において$y=f(x)$で定まる曲線を$C$とする．定数$a>-7$に対して，$C$上の点$\mathrm{A}(a,f(a))$をとる．点$\mathrm{A}$における曲線$C$の接線を$l$とし，接線$l$と$x$軸の交点を$\mathrm{P}$とする．

(a)　点$\mathrm{P}$の$x$座標を$a$を用いて表せ．

(b)　正の数$m$に対して，線分$\mathrm{AP}$を$1:m$に内分する点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$q$とする．このとき，${\displaystyle \frac{f(q)}{f(a)}}$を$m$を用いて表せ．

(2)　自然数$n$に対して

$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}f(k)$

とする．

(a)　$k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して

$f(k)>{\displaystyle {\int }_k^{k+1}}f(x)dx>f(k+1)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つことを示し，次に$n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots$に対して

$S_n-f(n)>{\displaystyle {\int }_1^n}f(x)dx>S_n-f(1)\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つことを示せ．

(b)　定積分${\displaystyle {\int }_1^{2018}}f(x)dx$の値を求めよ．さらに$N\leqq S_{2018}$を満たす最大の整数$N$を求めよ．

【３】　$a$を正の実数とし，関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}{a}^{\frac{1}{x}}\text{（}x>0\text{）}$

と定める．

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$と不定積分${\displaystyle \int }{\{f(x)\}}^{2}dx$を求めよ．

(2)　関数$f(x)$は次の条件(＊)を満たすものとする．

「$f^{\prime }(b)=0$かつ$0<b<1$を満たす$b$がただ$1$つ存在する」　(＊)

(a)　このとき$a$のとり得る値の範囲を求め，$a^{\frac{1}{b}}$の値を求めよ．

(b)　曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=b\text{，}x=1$で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる回転体の体積を$V(a)$とおく．次の極限を求めよ．

$\underset{a\to 1-0}{\lim }(\log a)V(a)$

ここで，$\log$は自然対数を表す．

(3)　定数$t\geqq 1$と正の数$h$に対して，

$0<{(a+h)}^{\frac{1}{t}}-a^{\frac{1}{t}}\leqq ({\displaystyle \frac{1}{t}}{a}^{\frac{1}{t}}){\displaystyle \frac{h}{a}}$

が成り立つことを示せ．また，次の極限を求めよ．

$\underset{h\to +0}{\lim }{\displaystyle {\int }_1^2}{\displaystyle \frac{1}{t}}{(1+h)}^{\frac{1}{t}}dt$