2018　東京理科大学　理工学部B方式2月6日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{マ}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．

(1)　関数$f(x)$を

$f(x)=-3x+\sqrt{x^2-1}\text{（}\left|x\right|>1\text{）}$

によって定める．

(a)　関数$f(x)$は$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$で極大値$-\boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}}$をとる．

(b)　定数$a\text{，}b$をそれぞれ

$a=\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}\text{，}b=\underset{x\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}$

とするとき，$a=-\boxed{\text{カ}}\text{，}b=-\boxed{\text{キ}}$である．また，

$\underset{x\to \infty }{\lim }\{xf(x)-a{x}^2\}=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\text{，}\underset{x\to -\infty }{\lim }\{xf(x)-b{x}^2\}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$

となる．

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{マ}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．

(2)(a)　方程式$2^{4x^2{\log }_{2}x}=x$の実数解の個数は$\boxed{\text{シ}}$である．

(b)　定数$a\text{，}b$をそれぞれ$a={\log }_{10}2=\mathrm{0.3010\cdots }\text{，}b={\log }_{10}3=\mathrm{0.4771\cdots }$とする．このとき，

${\log }_{10}{\displaystyle \frac{9}{125}}=\boxed{\text{ス}}a+\boxed{\text{セ}}b-\boxed{\text{ソ}}$

${\log }_{\frac{1}{100}}\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{4}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}a-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}b$

と表される．また，自然数$n$に対して，${\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^k$の整数部分が$n$桁の数となる自然数$k$のうち最大のものを$k_n$で表す．このとき，極限値

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{k_n}{n}}$

の整数部分は$\boxed{\text{ト}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{マ}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．

(3)　数列$\{a_n\}$は初項が$a_1=-{\displaystyle \frac{18}{5}}$で，

$a_{n+1}-3a_n=4(a_n+3^n)(a_{n+1}+3^{n+1})\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たしているとする．$b_n=a_n+3^n$とおくと，

$b_{n+1}-\boxed{\text{ナ}}{b}_n=4b_n{b}_{n+1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

である．これより$b_n\ne 0$ならば$b_{n+1}\ne 0$であることがわかり，$b_1=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$なので，数学的帰納法によりすべての$n$で$bn\ne 0$であることが分かる．そこで，$c_n={\displaystyle \frac{1}{b_n}}$とおいて，$c_n$を求めると

$c_n={\left({\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ネ}}}}\right)}^n-\boxed{\text{ノ}}$

である．したがって

$a_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}\cdot {\boxed{\text{ヒ}}}^n}{1-\boxed{\text{フ}}\cdot {\boxed{\text{ヘ}}}^n}}$

となる．数列$\left\{{\displaystyle \frac{a_{n+1}-a_n}{d^n}}\right\}$が$n\to \infty$のときに$0$でない実数に収束するような正の数$d$は$\boxed{\text{ホ}}$であり，そのときの極限値は

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_{n+1}-a_n}{d^n}}=-\boxed{\text{マ}}$

である．

【２】　座標平面において，曲線$y=\sin x$の$-\pi \leqq x\leqq \pi$の範囲にある部分の図形を$C$とする．実数$a\text{，}b$に対し，図形$C$を$x$軸方向に$a\text{，}y$軸方向に$b$だけ平行移動して得られる図形を$D_{a,b}$と表す．ただし，実数$a$は$0<a<2\pi$の範囲にあるものとする．

(1)　図形$D_{a,b}$の$x\text{，}y$についての方程式を$x$の動く範囲を含めて表せ．

(2)　実数$a\text{（}0<a<2\pi \text{）}$に対して，図形$C$と図形$D_{a,b}$が共有点をもつような$b$の範囲を$a$を用いて表せ．必要であれば公式

$\sin A-\sin B=2\cos {\displaystyle \frac{A+B}{2}}\sin {\displaystyle \frac{A-B}{2}}$

を用いてもよい．

(3)　$b={\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．$C$と$D_{a,\frac{1}{2}}$が共有点をもつための$a$についての必要十分条件は，ある${\theta }_1\text{，}{\theta }_2\text{，}{\theta }_3\text{，}{\theta }_4\text{（}0<{\theta }_1<{\theta }_2<{\theta }_3<{\theta }_4<2\pi \text{）}$を用いて

${\theta }_1\leqq a\leqq {\theta }_2$または${\theta }_3\leqq a\leqq {\theta }_4$

と表せる．${\theta }_2\text{，}{\theta }_3$と$\sin {\theta }_1\text{，}\sin {\theta }_4$の値を求めよ．

【３】　座標平面上の楕円${(x+1)}^2+2y^2=2$を$C$とする．

(1)　楕円$C$を極座標$(r,\theta )$を用いて極方程式で表し，$r$を$\theta$を用いて表せ．ただし，極座標$(r,\theta )$の極は原点，始線は$x$軸の正の部分とする．

(2)　$2$つの直線$l_1$と$l_2$は原点を通り，垂直であるとする．$l_1$と楕円$C$の交点を$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}\text{，}{l}_2$と楕円$C$の交点を$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$とおいたとき，

${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{AB}}}+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{PQ}}}$

は垂直な$2$直線$l_1$と$l_2$の取り方によらず一定であることを示し，その値を求めよ．

(3)　楕円$C$の接線のうち，点$(1,0)$を通り$y$切片が正であるものを$l$とする．

(a)　接線$l$の方程式，および$C$と$l$の接点の座標を求めよ．

(b)　楕円$C$と接線$l$と$x$軸とで囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．