2018　東京理科大学　理学部B方式2月5日実施MathJax

【１】　次の(1)において，$\boxed{}$内の英文字にあてはまるものを選択肢$1$から$4$の中から$1$つ選び，その数字を解答用マークシートにマークせよ．また，(2)，(3)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形に表すものとする．

(1)　$a\text{，}b$を実数とする．

(a)　$a\text{，}b$がともに有理数であることは，$a+b$が有理数であるための$\boxed{\text{(a)}}$．

(b)　$a\text{，}b$がともに有理数であることは，$ab$が有理数であるための$\boxed{\text{(b)}}$．

(c)　$a\ne 0$とする．このとき，$a$が有理数であることは，${\displaystyle \frac{1}{a}}$が有理数であるための$\boxed{\text{(c)}}$．

(d)　$a>0$とする．$a\text{，}b$がともに有理数であることは，$a^b$が有理数であるための$\boxed{\text{(d)}}$．

1.　必要十分条件である

2.　必要条件であるが十分条件ではない

3.　十分条件であるが必要条件ではない

4.　必要条件でも十分条件でもない

【１】　次の(1)において，$\boxed{}$内の英文字にあてはまるものを選択肢$1$から$4$の中から$1$つ選び，その数字を解答用マークシートにマークせよ．また，(2)，(3)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形に表すものとする．

(2)　さいころを何回もくり返し投げ，関数$f_1(x)\text{，}{f}_2(x)\text{，}{f}_3(x)\text{，}\cdots$を以下のように定める．$f_1(x)=1$と定め，各自然数$i$に対して，$i$回目にさいころを投げたときに出た目が偶数ならば

$f_{i+1}(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{f}_i(x)dt\text{，}$

奇数ならば

$f_{i+1}(x)={f_i}^{\prime }(x)$

とする．ただし，${f_1}^{\prime }(x)$は$f_1(x)$の導関数とする．

自然数$n\text{，}m$に対して，

$f_n(x)={\displaystyle \frac{x^{m-1}}{(m-1)!}}$

となる確率を$P(n,m)$で表す．ただし，$0!=1$とする．また，$P(n,0)$は$f_n(x)=0$となる確率を表すことにする．このとき，

$P(3,1)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}P(3,3)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\text{，}P(3,5)=\boxed{\text{オ}}$

である．$n\geqq 2\text{，}m\geqq 2$ならば

$P(n,m)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}P(n-1,m-1)+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}P(n-1,m+1)$

が成り立ち，

$P(5,3)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}\text{シ}}}}$

である．さらに，$n\geqq 2$を満たすすべての$n$に対して，

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }}P(n,m)=\boxed{\text{ス}}$

である．

【１】　次の(1)において，$\boxed{}$内の英文字にあてはまるものを選択肢$1$から$4$の中から$1$つ選び，その数字を解答用マークシートにマークせよ．また，(2)，(3)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形に表すものとする．

(3)　$\mathrm{O}$を原点とる座標空間において$4$点を$\mathrm{A}(1,1,0)\text{，}\mathrm{B}(3,0,-1)\text{，}\mathrm{C}(0,-2,1)\text{，}\mathrm{D}(5,-4,3)$とする．

(a)　直線$\mathrm{OD}$と点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る平面との交点$\mathrm{P}$の座標は

$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}\text{チ}}}},-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}\text{ナ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}\text{ノ}}}})$

である．

(b)　原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る平面に下ろした垂線と点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る平面との交点$\mathrm{H}$の座標は

$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}\text{ヘ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ホ}}}{\boxed{\text{マ}\text{ミ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ム}\text{メ}}}{\boxed{\text{モ}\text{ヤ}}}})$

である．

(c)　$▵\mathrm{ABC}$の面積$S$は

$\sqrt{{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ユ}\text{ヨ}}}{\boxed{\text{ラ}}}}}$

であり，四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{リ}}}{\boxed{\text{ル}}}}$

である．

【２】　$a\text{，}b$を$a>1\text{，}b\leqq -1$を満たす実数とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　座標平面上で点$\mathrm{A}(0,a)$を通り，円$C\text{：}{x}^2+y^2=1$に接する$2$直線のうち，傾きが正のものを$l_1\text{，}$負のものを$l_2$とおく．$l_1\text{，}{l}_2$の方程式およびそれらの$C$との接点を求めよ．

(2)　座標平面上で点$\mathrm{B}(0,b)$を通り，傾きが$l_1$の傾きより小さく$l_2$の傾きより大きい直線を$l_3$とおく．(1)で定めた直線$l_1\text{，}{l}_2$と$l_3$の交点および点$\mathrm{A}$を$3$頂点にもつ三角形の面積が最小になるような$l_3$の傾きを求めよ．またそのときの面積を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(3)　(2)で求めた面積を$S(a,b)$とする．各$a\text{（}a>1\text{）}$に対し，$b$が$b\leqq -1$の範囲を動くときの$S(a,b)$の最小値$T(a)$を$a$を用いて表せ．

(4)　(2)で求めた面積$S(a,b)$に対し，$a\text{，}b$が$a>1\text{，}b\leqq -1$の範囲を動くとき，$S(a,b)$を最小にする$a\text{，}b$の値およびそのときの最小値を求めよ．

(5)　半径$1$の円を内接円とするような三角形のうち，面積が最小になるような三角形の$3$辺の長さの和を求めよ．

【３】　$a_0$を$a_0>2$なる実数とし，数列$\{a_n\}$がすべての$0$以上の整数$n$に対して

$a_{n+1}={a_n}^2-a_n+1$

を満たしているとする．また，$q_1=2\text{，}{q}_2={\displaystyle \frac{1}{2}}$とし，$a_0=q_{1}r+q_2$を満たす実数$r$をとる．

(1)

(a)　$a_1$と$a_2$の値を$r$を用いて表せ．

(b)

${(q_{1}s+q_2)}^2-(q_{1}s+q_2)+1=q_1(A{s}^2+Bs+C)+q_2$

がすべての実数$s$に対して成立するような定数$A\text{，}B\text{，}C$の値を求めよ．

(2)　$A\text{，}B\text{，}C$を(1)の(b)で求めた値とする．$b_0=r$とし，数列$\{b_n\}$がすべての$0$以上の整数に対して，

$b_{n+1}=A{b_n}^2+B{b}_n+C$

を満たしているとする．

(a)　$q_1{b}_1+q_2$の値を$r$を用いて表せ．

(b)　$q_1{b}_2+q_2$の値を$r$を用いて表せ．

(3)

(a)　すべての$0$以上の整数$n$に対して

${\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}-p}}=-{\displaystyle \frac{1}{a_n}}+{\displaystyle \frac{1}{a_n-p}}$

を満たす実数$p$の値を求めよ．

(b)

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{a_k}}$

の値を$a_0$を用いて表せ．

(4)　$\{b_n\}$を(2)で与えた数列とする．

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{q_1{b}_k+q_2}}$

の値を$r$を用いて表せ．