2018　東京理科大学　理学部B方式2月8日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$内のアからヌにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートの解答欄の指定された行にマークせよ．ただし，$\boxed{}$は$2$桁の数，$\boxed{}$は$3$桁の数を表す．また，値が根号を含む場合は，根号の中にあらわれる自然数が最小になる形で表すものとする．分数は既約分数として表すものとする．

(1)　$3$辺の長さが$2x\text{，}x+6\text{，}6$である三角形を考える．この三角形が鋭角三角形となるのは，$x$の範囲が$\boxed{\text{ア}}<x<\boxed{\text{イ}}+\boxed{\text{ウ}}\sqrt{\boxed{\text{エ}}}$

のときである．このとき，$1$つの角が${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$となるのは，

$x=\boxed{\text{オ}}+\sqrt{\boxed{\text{カ}\text{キ}}}$

のときである．

【１】　次の$\boxed{}$内のアからヌにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートの解答欄の指定された行にマークせよ．ただし，$\boxed{}$は$2$桁の数，$\boxed{}$は$3$桁の数を表す．また，値が根号を含む場合は，根号の中にあらわれる自然数が最小になる形で表すものとする．分数は既約分数として表すものとする．

(2)　関数$y={\displaystyle \frac{\pi }{6}}(\sqrt{3}\sin x+\cos x)$と関数$z=\sin 3y+\cos 2y-\sin y$を考える．$x$の動く範囲が$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のとき，$y$は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\pi \leqq y\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}\pi$

の範囲を動き，このとき，$z$は

$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}\sqrt{\boxed{\text{セ}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}\leqq z\leqq \boxed{\text{チ}}$

の範囲を動く．

【１】　次の$\boxed{}$内のアからヌにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートの解答欄の指定された行にマークせよ．ただし，$\boxed{}$は$2$桁の数，$\boxed{}$は$3$桁の数を表す．また，値が根号を含む場合は，根号の中にあらわれる自然数が最小になる形で表すものとする．分数は既約分数として表すものとする．

(3)　$1$から$6$までの番号が書かれた$6$枚のカードがある．$6$枚すべてを$1$列に並べるとき，前半$3$枚の数の和が後半$3$枚の数の和より小さい並べ方は$\boxed{\text{ツ}\text{テ}\text{ト}}$通りある．また，奇数が少なくとも$1$箇所は連続するか，または，偶数が少なくとも$1$箇所は連続するような並べ方は$\boxed{\text{ナ}\text{ニ}\text{ヌ}}$通りある．

【２】　$t>0$とし，座標空間に$3$点$\mathrm{A}(1,0,t)\text{，}\mathrm{B}(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},t)\text{，}\mathrm{C}(-{\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},t)$を考える．このとき，次の問いに答えよ．ただし，座標空間の原点を$\mathrm{O}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$が互いに垂直であるとき，$t$の値を求めよ．

(2)　(1)のとき，$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を頂点とする立方体の残りの$4$つの頂点の座標を求めよ．

(3)　(2)の立方体を$z$軸の周りに$1$回転させるとき，立方体が通過する部分の体積を求めよ．

【３】　$a$を実数，$b>0$とし，関数$f(x)\text{，}g(x)\text{，}h(x)$を

$f(x)=(x+1)(x-1)(x-3)$

$g(x)=8x+a$

$h(x)=bx-3$

と定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$のグラフと関数$y=g(x)$のグラフの共有点の個数を$a$について場合分けして答えよ．

(2)　関数$y=|f(x)|$のグラフの概形を描け．ただし，$|f(x)|$が極値をとる$x$の値をすべて記入すること．極値は記入しなくてよい．

(3)　曲線$y=-f(x)$の接線で，点$(0,-3)$を通るものの傾きをすべて求めよ．

(4)　関数$y=|f(x)|$のグラフと関数$y=h(x)$のグラフの共有点の個数を$b$について場合分けして答えよ．