2018　東京理科大学　理学部数学科2月8日実施MathJax

【１】　自然数$n$に対し，$l(n)$を$n$の正の約数の個数とし，$n$の正の約数を小さい順に並べたときの$j$番目の数を$a(n,j)$とする（$j=1\text{，}\cdots \text{，}l(n)$）．また，数列$b(1)\text{，}b(2)\text{，}\cdots$を

$b(1)=1\text{，}b(n)=-{\displaystyle \sum _{k=1}^{l(n)-1}}b(a(n,k))\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．例えば，$n=6$の場合，$l(6)=4$となり，

$a(6,1)=1\text{，}a(6,2)=2\text{，}a(6,3)=3\text{，}a(6,4)=6$

となる．また，$b(6)=-(b(1)+b(2)+b(3))$である．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$p$を素数とするとき，$b(p)$を求めよ．

(2)　$p\text{，}q$を異なる$2$つの素数とするとき，$b(pq)$を求めよ．

(3)　$p$を素数，$k$を$2$以上の自然数とするとき，$b(p^k)$を求めよ．

(4)　$p\text{，}q\text{，}r$を異なる$3$つの素数とするとき，$b(pqr)$を求めよ．

(5)　$n$を$2$以上の自然数とし，$p_1\text{，}\cdots \text{，}{p}_n$を異なる$n$個の素数からなる数列とするとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}k\cdot {b(p_k)}^k$を求めよ．

(6)　$n$を$3$以上の自然数とし，$p_1\text{，}\cdots \text{，}{p}_n$を異なる$n$個の素数からなる数列とするとき，

${\displaystyle \sum _{k=2}^{n-1}}{\displaystyle \frac{1}{(b(p_k)+k)(b(p_k{p}_{k+1})+k)}}$

を求めよ．

(7)　$p\text{，}q\text{，}r$を異なる$3$つの素数とし，$n=pqr$とするとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^{l(n)}}{\displaystyle \frac{n\cdot b(a(n,k))}{a(n,k)}}$が$p-1$の倍数であることを示せ．

【２】　$0\leqq s\leqq 1$を満たす実数$s$に対し，座標平面上で曲線$C_s$を次式によって定義する．

$C_s\text{：}\{\begin{array}{l}x=t-s\cos t\\ y=\sin t+s\end{array}\text{（}0\leqq t\leqq \pi \text{）}$

また，$C_s$上の点$(t-s\cos t,\sin t+s)$を${\mathrm{P}}_s(t)$とする．$s$が$0$から$1$まで動くときに$C_s$が通過する部分を$D$とする．

(1)　$C_0$を図示せよ．

(2)　$s$が$0$から$1$まで動くとき，$3$点${\mathrm{P}}_s(0)\text{，}{\mathrm{P}}_s\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)\text{，}{\mathrm{P}}_s(\pi )$の軌跡を図示せよ．

(3)　$C_1$上の点${\mathrm{P}}_1(t)$における接線の傾きを$t$を用いて表せ．

(4)　$D$を図示し，$D$の面積を求めよ．