2018　東京理科大学　工学部B方式2月9日実施MathJax

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(1)　二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\text{，}\mathrm{BC}=1$とする．$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とし，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{D}$を$\angle \mathrm{CBD}=\theta$となるようにとる．

(a)　$\mathrm{CD}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ア}}}-\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$である．

(b)　$\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}\pi$である．

(c)　$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}+\sqrt{\boxed{\text{キ}}}}{\boxed{\text{ク}}}}$である．

(d)　${\cos }^{2}3\theta +{\cos }^{2}4\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(2)　以下の問いに答えなさい．

(a)　関数$f(x)=2\sin 2x-2\cos 2x$を考える．$0\leqq x<2\pi$において，方程式$f(x)=\sqrt{2}$は解を$\boxed{\text{ア}}$個もち，その中で値の最も大きな解は

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}\text{オ}}}}\pi$

である．

(b)　関数$g(x)={\displaystyle \frac{2\sin x\cos x-{\sin }^{2}x+1}{{\cos }^2-2\sin x\cos x+1}}$がとり得る値の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}-\sqrt{\boxed{\text{キ}\text{ク}}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\leqq g(x)\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}+\sqrt{\boxed{\text{キ}\text{ク}}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$

である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(3)　原点を$\mathrm{O}$とする座標空間において，点$\mathrm{P}(2,2,4)$をとる．線分$\mathrm{OP}$を一辺とし，対角線の長さが$12$の直方体を考える．この直方体を$\mathrm{OP}$を軸として$1$回転させたとき，直方体の頂点のうち点$\mathrm{P}$から最も遠い頂点$\mathrm{Q}$が描く円を$C$とする．なお，直方体の対角線は直方体の重心を通る．

(a)　円$C$の半径は$\boxed{\text{ア}}\sqrt{\boxed{\text{イ}\text{ウ}}}$である．また，点$\mathrm{Q}$の$z$座標を$q$とすると，$q$のとり得る値の範囲は

$-\boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}\text{カ}}}\leqq q\leqq \boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}\text{カ}}}$

である．

(b)　点$\mathrm{R}(3,-5,6)$をとり，円$C$を含む平面に垂線$\mathrm{RH}$を下ろす．点$\mathrm{H}$の座標は

$\mathrm{H}({\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}},-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}})$

である．また，線分$\mathrm{QR}$の長さがとり得る値の範囲は

$\sqrt{\boxed{\text{セ}\text{ソ}}}\leqq \mathrm{QR}\leqq \boxed{\text{タ}}\sqrt{\boxed{\text{チ}\text{ツ}}}$

である．

【２】　以下の問いに答えなさい．空欄(あ)〜(え)については適切な値を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，点$\mathrm{A}(-1,0)\text{，}$点$\mathrm{B}(1,0)\text{，}$点$\mathrm{C}(3,0)$および点$\mathrm{D}(1,6)$をとる．条件

$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}=4$

を満たしながら動く点$\mathrm{P}$を考える．

(1)　線分$\mathrm{OP}$の長さの最小値は$\boxed{\text{(あ)}}$であり，最大値は$\boxed{\text{(い)}}$である．

(2)　$x$軸に関して点$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{Q}$とする．$▵\mathrm{CPQ}$の面積が最大となる点$\mathrm{P}$の$x$座標は$\boxed{\text{(う)}}$である．ただし，点$\mathrm{P}$が$x$軸上にある時，点$\mathrm{Q}$と点$\mathrm{P}$は同一であり，$▵\mathrm{CPQ}$の面積は$0$とみなす．なお，(う)を導く過程を解答用紙の所定の場所に書きなさい．

(3)　$▵\mathrm{CDP}$の面積の最小値は$\boxed{\text{(え)}}$である．なお，(え)を導く過程を解答用紙の所定の場所に書きなさい．

【３】　以下の問いに答えなさい．ただし，空欄(あ)〜(か)については適切な数または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．なお，$e$は自然対数の底を表す．

(1)　以下の不定積分を求めると

${\displaystyle \int }{e}^{-2x}\cos 2xdx=\boxed{\text{(あ)}}$

である．ただし，積分定数は省略してよい．

(2)　座標平面において，媒介変数$\theta ({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{5\pi }{4}})$によって表された曲線

$\{\begin{array}{l}x=e^{-\theta }\cos \theta \\ y=e^{-\theta }\sin \theta \end{array}$

を$C_1$とし，直線$y=x$に関して$C_1$と対称な曲線を$C_2$とする．

(a)　曲線$C_1$の$x$軸との交点の$x$座標は$\boxed{\text{(い)}}$であり，$y$軸との交点の$y$座標は$\boxed{\text{(う)}}$である．また，関数$e^{-\theta }\cos \theta ({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{5\pi }{4}})$は$\theta =\boxed{\text{(え)}}$で極値$\boxed{\text{(お)}}$をとる．

(b)　曲線$C_1$と$C_2$によって囲まれる図形のうち，$x$座標が$x\leqq 0$を満たす部分の面積は$\boxed{\text{(か)}}$である．なお，(か)を導く過程を解答用紙の所定の場所に書きなさい．