2018　東京理科大学　基礎工学部B方式2月4日実施MathJax

【１】　$f(x)={\displaystyle \frac{\sin x+\sqrt{3}\cos x+1}{2\sin x+2\sqrt{3}\cos x+6}}\text{（}0\leqq x<2\pi \text{）}$とおく．

(1)　$f(\pi )=-{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ア}}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．また，$f(x)=f(\pi )$となる$\pi$以外の$x$の値は$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\pi$である．

(2)　$f(x)=0$となる$x$は，小さいものから順に，$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\pi \text{，}x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\pi$である．

(3)　$f(x)$は，$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\pi$のとき最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シス}}}}$をとり，$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}\pi$のとき最小値$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$をとる．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=2\text{，}\mathrm{OB}=3\text{，}\mathrm{AB}=4\text{，}\mathrm{OC}=5\text{，}\angle \mathrm{AOC}=60\mathrm{°}\text{，}\angle \mathrm{BOC}=60\mathrm{°}$とする．さらに，頂点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$へ下ろした垂線と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{D}\text{，}$頂点$\mathrm{C}$から面$\mathrm{OAB}$を含む平面へ下ろした垂線とその平面との交点を$\mathrm{E}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウエ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オカ}}}{\boxed{\text{キク}}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$である．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{CE}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サシ}}}{\boxed{\text{ス}}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}$である．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}\sqrt{\boxed{\text{タ}}}$である．

【３】　一般に，複素数$z$と共役な複素数を$\bar{z}$で表す．複素数$z$に対する条件$\bar{a}z-a\bar{z}+2i=0$を考える．$z=-1-3i$と$z=1+i$の両方がこの条件を満たすとする．ただし，$a$は複素数の定数，$i$は虚数単位とする．

(1)　$a=\boxed{\text{ア}}+\boxed{\text{イ}}i$である．

(2)　$z=x+yi$が上の条件を満たすとき，$y=\boxed{\text{ウ}}x-\boxed{\text{エ}}$が成り立つ．ただし，$x\text{，}y$は実数である．

(3)　上の条件を満たす複素数$z$に対して，$w={\displaystyle \frac{1}{z}}$を満たす複素数$w$を考える．$w=u+vi$とおくとき，$u$と$v$の間には以下の関係式が成立する．ただし，$u\text{，}v$は実数である．

${(u-\boxed{\text{オ}})}^2+{(v-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}})}^2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$

(4)　(3)の$w$について以下の式が成り立つ．

$w\bar{w}-(\boxed{\text{コ}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}i)w-(\boxed{\text{ス}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}i)\bar{w}=\boxed{\text{タ}}$

【４】　$1$個のさいころを$3$回投げ，$i$回目（$i=1\text{，}2\text{，}3$）に出た目を$a_i$とする．座標平面内のベクトル$\overrightarrow{u_i}$を$\overrightarrow{u_i}=(\cos {\displaystyle \frac{a_i\pi }{3}},\sin {\displaystyle \frac{a_i\pi }{3}})$により定める．

(1)　$\overrightarrow{u_1}+\overrightarrow{u_2}=\overrightarrow{0}$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．

(2)　$\overrightarrow{u_1}+\overrightarrow{u_2}$の大きさが$1$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．

(3)　$\overrightarrow{u_1}+\overrightarrow{u_2}+\overrightarrow{u_3}=\overrightarrow{0}$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カキ}}}}$である．

(4)　$\overrightarrow{u_1}+\overrightarrow{u_2}+\overrightarrow{u_3}$の大きさが$1$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケコ}}}}$である．

【５】　座標平面上の放物線$y=x^2$を$C$とする．$t$を正の実数とし，$C$上の点$(t,t^2)$を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$における法線を$l$とし，$l$と$C$の交点のうちで点$\mathrm{P}$と異なるものを$\mathrm{Q}$とする．

(1)　$l$の方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて書き表せ．

$x$軸上の点で点$\mathrm{Q}$と同じ$x$座標をもつものを$\mathrm{R}\text{，}$直線$l$と$x$軸との交点を$\mathrm{S}$とおく．

(3)　$t$がすべての正の実数を動くとき，線分$\mathrm{RS}$の長さの最小値とそのときの$l$の値を求めよ．

(4)　線分$\mathrm{RS}$の長さが最小となるときの直線$l$と曲線$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．