2018　東京理科大学　薬学部B方式2月7日実施MathJax

【１】

(1)　原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r\text{（}r>0\text{）}$の円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$があり，$\mathrm{AB}=7\text{，}\mathrm{BC}=5\text{，}\mathrm{AC}=\sqrt{39}$であるという．

(a)　$r=\sqrt{\boxed{\text{ア}\text{イ}}}$である．

(b)　$\mathrm{CD}=4$のとき，$\mathrm{AD}=-\boxed{\text{ウ}}+\boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}}$である．

(c)　$\mathrm{CD}=3\mathrm{AD}$のとき，四角形$\mathrm{AOCD}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}$となる．

【１】

(2)　成功か失敗かのどちらかが起こる実験を繰り返し行う．ある回に実験が成功したとき次の回にも実験が成功する確率は${\displaystyle \frac{1}{4}}$であり，ある回に実験が失敗したときに次の回にも実験が失敗する確率は${\displaystyle \frac{3}{5}}$であるという．$1$回目の実験が成功する確率を${\displaystyle \frac{1}{3}}$とし，$n$回目（$n$は自然数）の実験が成功する確率を$p_n$とする．

(a)　$p_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}\text{シ}}}}\text{，}{p}_3={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}\text{セ}\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}\text{チ}\text{ツ}}}}$である．

(b)　$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表すと

$p_{n+1}=(-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}\text{ナ}}}})p_n+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

となる．

(c)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}\text{ハ}}}}$である．

【２】　$a$を正の実数とする．$xy$平面上の点$\mathrm{A}(a,1)$と動点$\mathrm{P}(x,y)$の距離は，点$\mathrm{P}$と直線$y=-1$の距離に等しいという．点$\mathrm{P}$の軌跡を$C_1$とし，放物線$y=-4x^2+ax+a$を$C_2$とする．文中の$\log$は自然対数を表す．

(1)　$C_1$と$C_2$が共有点をただ$1$つもつのは$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$のときである．このとき，共有点における$C_2$の接線を$l_1\text{，}$共有点を通り$l_1$に垂直な直線を$l_2$とすると，$l_1$と$l_2\text{，}$および$y$軸によって囲まれる部分の面積は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}\text{オ}\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}\text{ク}\text{ケ}}}}$である．

(2)　$y$軸と$C_1$の共有点が，$y$軸と$C_2$の共有点と一致するのは，$a=\boxed{\text{コ}}$のときである．このとき，$C_1$と$C_2$の共有点の$x$座標は$\boxed{\text{サ}}\text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}\text{ソ}}}}$であるから，$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}\text{チ}\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}\text{ト}\text{ナ}}}}$である．

曲線$y={\displaystyle \frac{7}{x+1}}\text{（}x\ne -1\text{）}$を$C_3$とする．

(3)　$a=\boxed{\text{コ}}$とする．このとき，$C_1$と$C_3$の交点の座標は$(\boxed{\text{ニ}},\boxed{\text{ヌ}})$であり，$C_1$と$C_3\text{，}$および$y$軸によって囲まれる部分を$y$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積は$\pi (\boxed{\text{ネ}\text{ノ}}-\boxed{\text{ハ}\text{ヒ}}\log \boxed{\text{フ}})$である．

【３】　関数$f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+3\text{，}g(x)=\sqrt{r^2-x^2}\text{（}-r\leqq x\leqq r\text{，}r>0\text{）}$を考える．放物線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$は，異なる$2$つの共有点で接するという．ただし，$2$つの曲線が共有点$\mathrm{A}$で接するとは，$2$つの曲線が点$\mathrm{A}$において共通の接線をもつことである．また，文中の$\log$は自然対数を表す．

(1)　$r=\sqrt{\boxed{\text{ア}}}$であり，共有点の座標はそれぞれ$(-\boxed{\text{イ}},\boxed{\text{ウ}})\text{，}(\boxed{\text{エ}},\boxed{\text{オ}})$である．

(2)　$xy$平面上において，不等式

$-g(x)\leqq y\leqq f(x)\text{，}-\sqrt{\boxed{\text{ア}}}\leqq x\leqq \sqrt{\boxed{\text{ア}}}$

が表す領域を$D$とし，$\alpha$を

$0\leqq \alpha \leqq 2\cdots$(＊)

を満たす定数とする．点$(x,y)$が領域$D$内を動くとき，$\alpha x+y$のとりうる値の範囲は

$-\sqrt{\boxed{\text{カ}}{\alpha }^{\boxed{\text{キ}}}+\boxed{\text{ク}}}\leqq \alpha x+y\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}{\alpha }^{\boxed{\text{サ}}}+\boxed{\text{シ}}$

である．したがって，点$(x,y)$が領域$D$内を動き，$\alpha$が(＊)の範囲を動くとき，$\alpha x+y$のとりうる値の最大値は$\boxed{\text{ス}}$であり，最小値は$-\boxed{\text{セ}}$である．

(3)　$\alpha \geqq 0$とする．直線$y=-\alpha x+k$と曲線$y=g(x)$が接するように$k$を定める．このとき，接点の座標を$(u(\alpha ),v(\alpha ))$とおくと，

$u(\alpha )=\alpha \sqrt{{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{{\alpha }^{\boxed{\text{タ}}}+\boxed{\text{チ}}}}}\text{，}v(\alpha )=\sqrt{{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{{\alpha }^{\boxed{\text{テ}}}+\boxed{\text{ト}}}}}$

である．また，

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{5}{12}}}u(\alpha )d\alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}\text{ヌ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ネ}}}\text{，}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{5}{12}}}v(\alpha )d\alpha =\sqrt{\boxed{\text{ノ}}}\log {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}$

である．

【４】　自然数$m$を自然数$n$で割ったときの余りを$R[m:n]$で表すとする．

(1)　${31}^2-1$を$30$で割ったときの余り$R[{31}^2-1:30]$は$\boxed{\text{ア}}$である．また，${31}^3$を$30$で割ったときの余り$R[{31}^3:30]$は$\boxed{\text{イ}}$である．

(2)　$R[{31}^{13}:29]=\boxed{\text{ウ}\text{エ}}$であり，$R[{31}^{13}:33]=\boxed{\text{オ}\text{カ}}$である．

(3)　$R[{31}^{130}:900]=\boxed{\text{キ}\text{ク}\text{ケ}}$である．

(4)　$R[{31}^{103}:960]=\boxed{\text{コ}\text{サ}}$である．

(5)　$R[{31}^{31}:27000]=\boxed{\text{シ}\text{ス}\text{セ}\text{ソ}\text{タ}}$である．