2018　東京理科大学　理学部応用数学科2月5日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形に表すものとする．

　関数$f(x)$を

$f(x)=e^{-x}\sin x$

と定める．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)

${\displaystyle \int }f(x)dx=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}{e}^{-x}(\cos x+\sin x)+C$

であり，

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f(x)dx={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}{e}^{-\pi }+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\text{，}$

${\displaystyle {\int }_{\pi }^{2\pi }}f(x)dx=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}{e}^{-2\pi }-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}{e}^{-\pi }$

である．ただし，$C$は積分定数とする．

(2)　$0\leqq x\leqq 2\pi$において，$f(x)$は

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}\pi$

のとき，最大値

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\boxed{\text{ス}}}}}{(e^{-\pi })}^{\frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$

をとり，また，

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}\pi$

のとき，最小値

$-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}}}{(e^{-\pi })}^{{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}}$

をとる．

(3)　$k$を自然数とし，座標平面において曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた領域のうち，$x$座標が$(k-1)\pi \leqq x\leqq k\pi$を満たす部分の面積を$S_k$とするとき，

$S_k=e^{-(k-1)\pi }({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}{e}^{-\pi }+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}})$

であり，

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{S}_k={\displaystyle \frac{e^{\pi }}{e^{\pi }-\boxed{\text{ノ}}}}({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}{e}^{-\pi }+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}})$

である．

(4)　$f(x)$の$0\leqq x$における極大値を大きい順に$M_1\text{，}{M}_2\text{，}\cdots$とし，区間$0<x$における極小値を小さい順に$m_1\text{，}{m}_2\text{，}\cdots$とするとき，

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }}{M}_i={\displaystyle \frac{{(e^{\pi })}^{\frac{\boxed{\text{ホ}}}{\boxed{\text{マ}}}}}{\sqrt{\boxed{\text{ミ}}}(e^{2\pi }-1)}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }}{m}_i=-{\displaystyle \frac{{(e^{\pi })}^{\frac{\boxed{\text{ム}}}{\boxed{\text{メ}}}}}{\sqrt{\boxed{\text{モ}}}(e^{2\pi }-1)}}$

である．

【２】　$t$を実数とし，複素数$\alpha (t)\text{，}\beta (t)$をそれぞれ$\alpha (t)=\cos 2t+i\sin 3t\text{，}\beta (t)=(-\cos 2t-i\sin 3t)(1+i)$とおく．

以下の問に答えよ．

(1)　$\alpha (t_1)=\alpha (t_2)$となる実数$t_1$と$t_2$で$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<t_1<t_2<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たすものを求めよ．

(2)　$t$を実数とする．$x=\cos 2t\text{，}y=\sin 3t$とおくとき，$y^2$を$x$の多項式で表せ．

(3)　(1)で求めた$t_1\text{，}{t}_2$に対して，実数$t$が$t_1\leqq t\leqq t_2$となるすべての値を取るとき，$\alpha (t)$が複素数平面上に描く曲線で囲まれた領域の面積を求めよ．

(4)　(1)で求めた$t_1\text{，}{t}_2$に対して，実数$t$が$t_1\leqq t\leqq t_2$となるすべての値を取るとき，$\beta (t)$が複素数平面上に描く曲線で囲まれた領域の面積を求めよ．