2018　同志社大　理系学部2月4日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　$i$を虚数単位とする．複素数$z=18\sqrt{3}+18i$のとき，$z$の絶対値$\left|z\right|=\boxed{\text{ア}}\text{，}z$の偏角を$\theta \text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$とすると$\theta =\boxed{\text{イ}}\text{，}$複素数$\gamma ={\displaystyle \frac{1}{49}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{49}}i$とすると，${\gamma }^{7}z$の実部は$\boxed{\text{ウ}}\text{．}$次に，$a\text{，}b$を実数とし，複素数$w=a+bi$とする．実部$a\text{，}b$のどのような値に対しても，不等式$\left|a\right|+\left|b\right|\leqq \sqrt{m}\left|w\right|$が成り立つような自然数$m$のうち最小のものは$\boxed{\text{エ}}\text{，}$複素数$\alpha \text{，}\beta$に対する不等式$\left|\alpha \right|-\left|\beta \right|\leqq |\alpha +\beta |\leqq \left|\alpha \right|+\left|\beta \right|$を用いると，$\underset{n\to \infty }{\mathrm{llm}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}\left|{\displaystyle \frac{(k\cos k-\sin k)+k^{2}i}{n(n+1)(n+2)}}\right|=\boxed{\text{オ}}\text{．}$

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　$k$を$3$以上の整数とする．$1$から$k$までの番号を$1$つずつつけた$k$個の玉と，同様に番号をつけた$k$個の箱を用意する．この$k$個の玉を$1$つの袋に入れ，この袋から玉を$1$個ずつ取り出して番号が$1$の箱から順に$1$個ずつすべての箱に入れていく．このとき，袋から一度取り出した玉は袋に戻さないとする．すべての箱で玉の番号と箱の番号が異なる事象を考える．この事象の起こる場合の数を$N(k)$とし，この事象が起こる確率を$P(k)$とすると，$N(3)=\boxed{\text{カ}}\text{，}P(3)=\boxed{\text{キ}}\text{．}$また，$N(4)=\boxed{\text{ク}}$であり，$N(5)=\boxed{\text{ケ}}\times (N(4)+N(3))$であるので，一般の$k$のときの確率の関係式は$P(k+2)={\displaystyle \frac{k+1}{k+2}}P(k+1)+\boxed{\text{コ}}P(k)\text{．}$

【２】　関数$f(x)=x{e}^x$とする．次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{d}{dx}}f(x)\text{，}{\displaystyle \frac{d^2}{{dx}^2}}f(x)$を求めよ．

(2)　関数$f(x)$は$x=a$で最小値$f(a)$をとるとする．$a\text{，}f(a)$を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$の変曲点を$(b,f(b))$とする．$b\text{，}f(b)$を求めよ．

(4)　(2)の$a$と(3)の$b$に対して，曲線$y=f(x)$のうちで$2$点$(a,f(a))\text{，}(b,f(b))$の間の部分を$C$とする．曲線$C$と直線$x=a\text{，}x=b$および$x$軸で囲まれた部分の面積を$S$とする．$S$を求めよ．

(5)　(4)の囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V$とする．$V$を求めよ．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内の$2$点$\mathrm{M}(0,0,2)\text{，}\mathrm{A}(1,1,1)$を考える．実数$\theta$は$0\leqq \theta <2\pi$を満たすとする．点$\mathrm{M}$を中心とする平面$z=2$上の半径$\sqrt{2}$の円を$S$とし，円$S$上の点$\mathrm{P}$の座標を$(\sqrt{2}\cos \theta ,\sqrt{2}\sin \theta ,2)$とする．直線$\mathrm{MA}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{N}$とし，直線$\mathrm{PA}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{MN}}=t\overrightarrow{\mathrm{MA}}$となる実数$t$を求め，点$\mathrm{N}$の座標を求めよ．

(2)　点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(3)　$\angle \mathrm{OQN}$が直角となる$\theta$の値を求めよ．

(4)　点$\mathrm{P}$が円$S$上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．

(5)　点$\mathrm{P}$が円$S$上を動くとき，線分$\mathrm{OQ}$が通過してできる図形の面積を求めよ．

【４】　$n$を$2$以上の整数とする．関数$r(t)\text{，}f(x)$を次のように定める．

$r(t)=(t+1)\log (1+{\displaystyle \frac{4}{t}})\text{（}t>0\text{）}$

$f(x)={(1+{\displaystyle \frac{x}{n}})}^{-n}-e^{-x}\text{（}x\geqq 0\text{）}$

次の問いに答えよ．

(1)　$\underset{t\to \infty }{\lim }{(1+{\displaystyle \frac{1}{t}})}^t=e$を用いて$\underset{t\to \infty }{\lim }r(t)$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{d}{dt}}r(t)\text{，}{\displaystyle \frac{d^2}{{dt}^2}}r(t)$を求めよ．

(3)　$t\geqq 2$のとき，関数$r(t)$の増減を調べることにより，$r(t)<4$であることを示せ．

(4)　$g(x)=(n+1)\log (1+{\displaystyle \frac{x}{n}})-x\text{（}x\geqq 0\text{）}$とする．関数$g(x)$の増減を調べることにより，$g(1)>0$であることを示せ．さらに，関数$r(t)$を用いることにより，$g(4)$が正であるか負であるかを理由をつけて述べよ．

(5)　関数$f(x)$が最大値をとるときの$x$の値を$p_n$とする．$p_n$は$1<p_n<4$を満たすことを示せ．

(6)　(5)の$p_n$に対して，$\underset{n\to \infty }{\lim }f(p_n)=0$であることを示せ．