2018　同志社大　文系学部2月5日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　$xy$平面上において，放物線$C\text{：}y=x^2+1$上の$2$点$\mathrm{P}(p,p^2+1)\text{（}p>0\text{），}\mathrm{Q}(q,q^2+1)\text{（}q<0\text{）}$における放物線$C$の接線をそれぞれ$l_1\text{，}{l}_2$とし，$l_1$と$l_2$の交点$\mathrm{R}$が$x$軸上にあるとする．このとき，接線$l_1$の方程式は$y=\boxed{\text{ア}}$であり，$q$は$p$を用いて$q=\boxed{\text{イ}}$と表され，$\mathrm{R}$の$x$座標は$p$を用いて$\boxed{\text{ウ}}$と表される．また，放物線$C$と$l_1\text{，}{l}_2$で囲まれた部分の面積を$S$とすると，$p$を用いて$S=\boxed{\text{エ}}$であり，この面積$S$を最小にする$p$の値は$\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　実数$x$に対して$x$を超えない最大の整数を$[x]$で表すものとする．正の実数$\alpha$に対して，数列$\{a_n\}$および$\{b_n\}$を以下で定める．

$a_1=\alpha \text{，}{b}_1=[a_1]$

$2$以上の自然数$n$に対して，

$\{\begin{array}{ll}{a}_n={\displaystyle \frac{1}{a_{n-1}-b_{n-1}}}\text{，}{b}_n=[a_n]& \text{（}{a}_{n-1}\ne b_{n-1}\text{のとき）}\\ a_n=b_n=0& \text{（}{a}_{n-1}=b_{n-1}\text{のとき）}\end{array}$

$\alpha ={\log }_{18}972$のとき，$3^{a_2}\text{，}{2}^{a_3}$を$\log$を用いずに表すと，$3^{a_2}=\boxed{\text{カ}}\text{，}{2}^{a_3}=\boxed{\text{キ}}$である．また，$\alpha =\sqrt{5}$のときは，$2$以上の自然数$n$に対して$a_n=\boxed{\text{ク}}\text{，}{b}_n=\boxed{\text{ケ}}$であり，$\alpha =\boxed{\text{コ}}$のときは，$1$以上の自然数$n$に対して$b_n=1$である．

【２】　$0<p<1$を満たす定数$p$に対して，$▵\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$を$p:1-p$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．また，$\mathrm{D}$から直線$\mathrm{AC}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{E}\text{，}$線分$\mathrm{DE}$を$p:1-p$に内分する点を$\mathrm{F}$とし，$\mathrm{DE}=d$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{CF}}$を$\overrightarrow{\mathrm{CD}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{CE}}\text{，}p$を用いて表せ．

(2)　内積$\overrightarrow{\mathrm{CF}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{DE}}$を$p\text{，}d$を用いて表せ．

(3)　$G=\overrightarrow{\mathrm{CF}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{DB}}-\overrightarrow{\mathrm{CD}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{DB}}$とする．$G$を$p\text{，}d$を用いて表せ．

(4)　直線$\mathrm{BE}$と直線$\mathrm{CF}$が垂直に交わるとき，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{CD}$も垂直に交わることを示せ．

【３】　実数$p\text{，}q$に対して，$4$次関数$f(x)=x^4-3p{x}^2+4qx\text{（}{p}^3>2q^2\text{）}$は$x=\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma \text{（}\alpha <\beta <\gamma \text{）}$で極値をとるとする．また，$xy$平面において，点$\mathrm{A}(\alpha ,f(\alpha ))\text{，}$点$\mathrm{B}(\beta ,f(\beta ))\text{，}$点$\mathrm{C}(\gamma ,f(\gamma ))$とし，$2$次関数$y=g(x)$のグラフは$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通るとする．次の問いに答えよ．

(1)　$p=q=4$としたときの$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

(2)　$g(x)$を$p\text{，}q\text{，}x$を用いて表せ．

(3)　$f(\gamma )=0$が成り立つとき，$q\text{，}\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$を$p$を用いてそれぞれ表せ．

(4)　$p=4$とする．$f(\gamma )$が成り立つとき，$3$次関数$y=f^{\prime }(x)$のグラフと$2$次関数$y=g(x)$のグラフで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．