2018　同志社大　文，経済学部2月6日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　実数$A\text{，}B(-\pi <A\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq B<\pi )$は次の式を満たすとする．

$\sin A+\sin B={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}\text{，}\cos A+\cos B={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}$

このとき，$\cos (B-A)=\boxed{\text{ア}}\text{，}\cos (A+B)=\boxed{\text{イ}}$である．また，$\cos A=\boxed{\text{ウ}}\text{，}\cos B=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　関数$f(x)=x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx$は，$f(4)=0$を満たし，$x=3$で極小値$-27$をとる．このとき，$a=\boxed{\text{オ}}\text{，}b=\boxed{\text{カ}}\text{，}c=\boxed{\text{キ}}$である．$p$を実数とするとき，点$(3,p)$から曲線$y=f(x)$に引くことができる接線の本数$n$について考える．$n=1$であるような$p$の値は$\boxed{\text{ク}}$であり，$n=3$であるような$p$の値は$\boxed{\text{ケ}}$と$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　自然数の列$1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$を，次のように群に分ける．

$\begin{array}{ccccccc}1,2& |& 3,4,5,6,7& |& 8,9,10,11,12,13,14,15& |& \cdots \\ \text{第}1\text{群}& & \text{第}2\text{群}& & \text{第}3\text{群}& & \end{array}$

　ここで，第$n$群（$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$）は$(3n-1)$個の数からなるものとする．$a_n$を第$n$群に属する数の最初の数とし，$S_n$を第$n$群に属する数の総和とする．数列$\{a_n\}\text{，}\{S_n\}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$a_5\text{，}{a}_6$を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．

(3)　$2018$は第何群の小さい方から数えて何番目の項か．

(4)　数列$\{S_n\}$の一般項$S_n$を求めよ．

【３】　$3$辺の長さが$\mathrm{AB}=17\text{，}\mathrm{BC}=15\text{，}\mathrm{CA}=8$である直角三角形$\mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{CA}$に接する円を$C_1$とし，円$C_1$と辺$\mathrm{AB}$との接点を${\mathrm{P}}_1$とする．また，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{BC}$に接する円を$C_2$とし，円$C_2$と辺$\mathrm{AB}$との接点を${\mathrm{P}}_2$とする．円$C_1\text{，}{C}_2$の半径をそれぞれ$r_1\text{，}{r}_2$とする．次の問いに答えよ．

(1)　線分${\mathrm{AP}}_1$の長さを$r_1$を用いて表せ．

(2)　線分${\mathrm{BP}}_2$の長さを$r_2$を用いて表せ．

(3)　円$C_1$と円$C_2$が外接し，点$\mathrm{A}\text{，}$点${\mathrm{P}}_1\text{，}$点${\mathrm{P}}_2\text{，}$点$\mathrm{B}$が辺$\mathrm{AB}$上にこの順に並ぶとき，$r_1\text{，}{r}_2$の間に成り立つ関係式を求めよ．

(4)　(3)の関係式が成り立つとき，線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$の長さが最大となるような$r_1\text{，}{r}_2$の値をそれぞれ求めよ．