2018　同志社大　理系学部2月7日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　部分積分法により，${\displaystyle \int }{e}^{-x}\sin xdx=\boxed{\text{ア}}+{\displaystyle \int }{e}^{-x}\cos xdx\text{，}{\displaystyle \int }{e}^{-x}\cos xdx=\boxed{\text{イ}}-{\displaystyle \int }{e}^{-x}\sin xdx$が成り立つ．次に，$n$を自然数とする．$I_n={\displaystyle {\int }_0^{n\pi }}{e}^{-x}\sin xdx\text{，}{J}_n={\displaystyle {\int }_0^{n\pi }}{e}^{-x}\cos xdx$とおくと，$I_n-J_n$の値は$\boxed{\text{ウ}}$であり，$I_n+J_n$は$1-{(\boxed{\text{エ}})}^n{e}^{-n\pi }$と表される．これより，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}(2I_k-1)$とおくと，$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\boxed{\text{オ}}$となる．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　大小$2$個のさいころを同時に投げるとき，$2$つの目が異なる出方は$\boxed{\text{カ}}$通りであるので，$2$つの目が異なる確率は$\boxed{\text{キ}}$である．次に，大中小$3$個のさいころを同時に投げる．このとき，出る目がすべて異なる確率は$\boxed{\text{ク}}$であり，$3$の目が少なくとも$1$個のさいころで出る確率は$\boxed{\text{ケ}}$である．$1$個のサイコロを$4$回続けて投げる反復試行において，$3$の目が出る回数が$1$回以下である確率は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$3$点$\mathrm{A}(1,0,1)\text{，}\mathrm{B}(1,1,1)\text{，}\mathrm{C}(0,1,1)$を考える．実数$t$は$t>1$を満たすとし，$z$軸上の動点$\mathrm{P}$の座標を$(0,0,t)$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$3$直線$\mathrm{PA}\text{，}\mathrm{PB}\text{，}\mathrm{PC}$と$xy$平面の交点をそれぞれ$\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}\text{，}\mathrm{T}$とする．$\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}\text{，}\mathrm{T}$の座標を求めよ．

(2)　$▵\mathrm{RST}$の面積を$U$とする．$U$を$t$を用いて表せ．

(3)　$4$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}\text{，}\mathrm{T}$を頂点とする三角錐の体積を$V$とする．$t$が$t>1$の範囲で変化するとき，$V$の最小値を求めよ．

【３】　$x$を正の数，$r$を$0$でない実数とする．定積分では，積分変数以外の変数は定数とみなして積分するものとする．定積分で表される関数

$f_r(x)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{r}{\sqrt{x}}}}{e}^{-x{t}^2}dt\text{，}{g}_r(x)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{r}{\sqrt{x}}}}\left|t\right|e^{-x{t}^2}dt$

を考えて，

$f_{-}(x)=\underset{r\to -\infty }{\lim }{f}_r(x)\text{，}{f}_{+}(x)=\underset{r\to +\infty }{\lim }{f}_r(x)$

$g_{-}(x)=\underset{r\to -\infty }{\lim }{g}_r(x)\text{，}{g}_{+}(x)=\underset{r\to +\infty }{\lim }{g}_r(x)$

とする．次の問いに答えよ．

(1)　関数$p(u)=e^{-u^2}$の導関数${\displaystyle \frac{dp}{du}}$を求めよ．

(2)　定積分$I_r={\displaystyle {\int }_0^r}\left|u\right|e^{-u^2}du$を求め，極限$\underset{r\to +\infty }{\lim }{I}_r$を求めよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^r}\left|u\right|e^{-u^2}du$を$C_r$とおく．関数$g_r(x)$を$C_r\text{，}x$で表せ．さらに，$2$つの関数$g_{-}(x)\text{，}{g}_{+}(x)$をそれぞれ$x$の式で表せ．

(4)　定積分$D_r={\displaystyle {\int }_0^r}{e}^{-u^2}du$に対して，$\underset{r\to +\infty }{\lim }{D}_r={\displaystyle \frac{\sqrt{\pi }}{2}}$であることが知られている．これを用いて，$2$つの関数$h_{-}(x)=f_{-}(x)-g_{-}(x)\text{，}{h}_{+}(x)=f_{+}(x)-g_{+}(x)$をそれぞれ$x$の式で表し，それぞれの関数の極値を求めよ．

【４】　$n$を自然数とし，$y={\displaystyle \frac{1}{1+e^x}}$とする．第$n$次導関数${\displaystyle \frac{d^{n}y}{{dx}^n}}$は，$x$を含まない$y$の式で表すと，$y$の$(n+1)$次式になることが知られている．この$y$の$(n+1)$次式を$f_n(y)$とする．また，$f_n(y)$の$y^{n+1}$の係数を$a_n\text{，}{y}^n$の係数を$b_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$e^x$を$x$を含まない$y$の式で表せ．

(2)　$f_1(y)$を求めよ．また，$a_1\text{，}{b}_1$を求めよ．

(3)　$a_2\text{，}{b}_2$を求めよ．

(4)　数列$\{a_n\}$を考える．$a_{n+1}$を$a_n$と$n$の式で表せ．また，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(5)　数列$\{b_n\}$を考える．$b_{n+1}$を$b_n$と$n$の式で表せ．また，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．