2018　同志社大　理工学部2月10日実施MathJax

$S_n=3a_n+2n^2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

であるとする．次の問いに答えよ．

(1)　$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{S}_1\text{，}{S}_2$を求めよ．

(2)　$a_{n+1}$を$a_n$と$n$で表せ．

(3)　$b_n=a_{n+1}-a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおく．数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$を求めよ．

(2)　条件$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{BP}}\right|$を満たす点$\mathrm{P}$は$xy$平面上のどのような図形上にあるか．この図形の方程式を$x\text{，}$$y$で表せ．

(3)　条件$\angle \mathrm{APB}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす点$\mathrm{P}$は$xy$平面上のどのような図形上にあるか．この図形の方程式を$x\text{，}y$で表せ．

(4)　$2$つの条件$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{BP}}\right|\text{，}$$\angle \mathrm{APB}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$をともに満たす点$\mathrm{P}$の座標で$y$座標が正であるものを求めよ．

(5)　$t$を実数として点$\mathrm{C}(t,0,1)$を考える．$t$をある値に定めたとき，条件$\angle \mathrm{APC}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす点$\mathrm{P}$が$xy$平面上でただ$1$つ定まる．このときの$t$の値と点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

$x=(r+{\displaystyle \frac{1}{r}})\cos \theta \text{，}y=(r-{\displaystyle \frac{1}{r}})\sin \theta$

で定まる座標平面上の点$\mathrm{P}(x,y)$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　$r=\sqrt{2}\text{，}\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　$r=\sqrt{2}$とする．$\theta$の値が$0\leqq \theta <2\pi$の範囲で変化するとき，点$\mathrm{P}$の描く曲線$C_1$の方程式を$x$と$y$で表せ．

(3)　(2)の曲線$C_1$のうち，$\theta$の値が$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$の範囲に対応する部分を$C_2$とする．$x$軸，$y$軸，直線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}$および曲線$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

(4)　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$とする．$r$の値が$r>0$の範囲で変化するとき，点$\mathrm{P}$の描く曲線$C_3$の方程式を$x$と$y$で表せ．

(5)　(3)の曲線$C_2\text{，}$(4)の曲線$C_3$および$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．