2019　東京理科大学　経営学部B方式2月2日実施MathJax

【１】　放物線$Q\text{：}y=x^2$を$x>0$の範囲で動く点$\mathrm{P}$$(p,p^2)$がある．円$C_1$は$\mathrm{P}$において$Q$と接線を共有し，さらに$x>0$の範囲で$x$軸に接する．また，円$C_2$は$\mathrm{P}$において$Q$と接線を共有し，さらに$y>0$の範囲で$y$軸に接する．次の問いに答えなさい．

(1)　$C_1$の半径を$p$を用いて表しなさい．

(2)　$C_2$の中心の$y$座標を$p$を用いて表しなさい．

(3)　$C_1\text{，}$$C_2$の半径が等しいとき，$p$の値を求めなさい．

【２】　数列$\{a_n\}$を$0<a_1<{\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{4{a_n}^2}{3{a_n}^2+1}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$で定める．

(1)　$0<a_n<{\displaystyle \frac{1}{3}}$$\text{（}n=2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$となることを示しなさい．

(2)　${\displaystyle \frac{4a_n}{3{a_n}^2+1}}<{\displaystyle \frac{4a_{n-1}}{3{a_{n-1}}^2+1}}$$\text{（}n=2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$となることを示しなさい．

(3)　$a_{n+1}<{\left({\displaystyle \frac{4a_1}{3{a_1}^2+1}}\right)}^n{a}_1$$\text{（}n=2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$となることを示しなさい．

【３】　$\overrightarrow{0}$でない$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$について，$\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$の関係がある．さらに，$\left|\overrightarrow{c}\right|=1\text{，}$$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=3\left|\overrightarrow{b}\right|$であり，$\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$は垂直である．次の問いに答えなさい．

(1)　$\left|\overrightarrow{a}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$それぞれの値を求めなさい．

(2)　$t$が実数全体の範囲を動くとき，$|t\overrightarrow{a}+(1-t)\overrightarrow{b}|$の最小値とそのときの$t$の値を求めなさい．

【４】　半径$r$の球体のガラスの水槽が床に接して置かれている．この水槽にはじめ，水面が床面からちょうど${\displaystyle \frac{1}{8}}r$の高さになる量の水が入っている．さらに，水面が床面から${\displaystyle \frac{3}{2}}r$の高さに達するまで，毎秒$a$の割合で水を注入する．ただし，ガラスの厚さは無視できるほど薄く，水面は波立たず水平に上昇するものと考える．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　水槽内の水面が床面から$h$の高さに達した時点における，水槽内の水の体積$V$を求めなさい．

(2)　水槽内の水面が床面から$h$の高さに達した時点における，水面が上昇する速さ（毎秒）を求めなさい．

(3)　水槽に水を注入している間における，水面が上昇する速さ（毎秒）の最小値を求めなさい．

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{コ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，$\boxed{}$は$1\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数である．また，分数は既約分数として表しなさい．

　空間に半径$1$の球がある．球の中心を$\mathrm{O}$として，球面上に点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$をとる．ただし，$\mathrm{AB}={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$\mathrm{\angle AOC}=\mathrm{\angle BOC}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$である．

(1)　$\mathrm{\angle AOB}=\theta$のとき，$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．

　さらに，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の定める平面上に点$\mathrm{P}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}={\displaystyle \frac{5}{8}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は，

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

である．

(3)　直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，${\displaystyle \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{BQ}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{\text{サ}}$から$\boxed{\text{ネ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，$\boxed{}$は$1\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数，$\boxed{}$は$2\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数である．また，分数は既約分数として表しなさい．

　サイコロを$n$回投げて$i$回目に出た目を$a_i$とする．

(1)　$1$回目と$2$回目に出た目の積$a_1\times a_2$が$2$以下である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}\text{ス}}}}$である．

(2)　$a_1\times a_2\geqq {\left({\displaystyle \frac{a_1+a_2}{2}}\right)}^2$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$である．

(3)　$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$の最小値を$x$とするとき，$x\leqq 2$となる確率は

$\boxed{\text{タ}}-{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}\right)}^n$

である．

(4)　$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$の最大値を$y$とし，$y\leqq 4$となる確率を$p_n$とするとき，$p_n\geqq {\displaystyle \frac{{10}^5}{9^n}}$を満たす最小の$n$は$\boxed{\text{テ}}$である．必要であれば，${\log }_{10}2$を$0.301\text{，}$${\log }_{10}3$を$0.477$として計算すること．

(5)　$n\geqq 2$とする．$a_1\times a_2\times \cdots \times a_n\leqq 4$となる目の出方$(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$の総数は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}{n}^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}n+\boxed{\text{ネ}}$

通りである．

【３】　$a$と$b$を実数の定数として，関数$f(x)$を

$f(x)=x^3+6x^2+12x+3ax-b$

とするとき，次の問いに答えなさい．（ただし，正の整数$n$について，$x^n$の導関数が$n{x}^{n-1}$であることを使ってよい．）

(1)「方程式$f(x)=0$の異なる実数解の個数は$3$個である」ことが$a=-1$で成り立つように，定数$b$の値の範囲を求めなさい．

(2)「方程式$f(x)=0$の異なる実数解の個数は$3$個でない」ことがすべての実数$b$で成り立つように，定数$a$の値の範囲を求めなさい．

(3)「方程式$f(x)=0$の異なる実数解の個数は$2$個であり，そのうち$1$個の解は$x=1$である」ことが成り立つように，定数$a$と$b$の値の組合せをすべて求めなさい．