2019　東京理科大学　理工学部B方式2月3日実施MathJax

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ロ}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．なお，$\boxed{\text{テ}}$などは既出の$\boxed{\text{テ}}$を表す．

(1)　$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき関数

$y={\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta -2\sin 2\theta$

の最大値と最小値を求めよう．

　まず$x=\sin \theta +\cos \theta$とおくと$x=\sqrt{\boxed{\text{ア}}}\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{イ}}}})$と変形できるので$x$のとり得る範囲は$-\boxed{\text{ウ}}\leqq x\leqq \boxed{\text{エ}}$となる．

　次に$y$を変形して$x$で表すと

$y=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}{x}^3-\boxed{\text{キ}}{x}^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}x+2$

となる．これを微分して因数分解すると

${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}(x-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}})(x+\boxed{\text{シ}})$

となる．これらのことより，$y$の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}\text{タ}}}}\text{，}$最小値は$-\boxed{\text{チ}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}$である．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ロ}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．なお，$\boxed{\text{テ}}$などは既出の$\boxed{\text{テ}}$を表す．

(2)　${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．$2^{36}$は$\boxed{\text{テ}\text{ト}}$桁の整数である．$3^n$が$\boxed{\text{テ}\text{ト}}$桁の整数となる最小の自然数$n$は$\boxed{\text{ナ}\text{ニ}}$であり，$2^{36}+6\times 3^{\boxed{\text{ナ}\text{ニ}}}$は$\boxed{\text{ヌ}\text{ネ}}$桁の整数である．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ロ}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．なお，$\boxed{\text{テ}}$などは既出の$\boxed{\text{テ}}$を表す．

(3)　$3$つのさいころを同時に投げる．

(a)　出る目がすべて同じになる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}\text{ヒ}}}}\text{，}$すべて異なる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}$である．出る目のうちちょうど$2$つが一致し他は異なる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ホ}}}{\boxed{\text{マ}\text{ミ}}}}$である．

(b)　出る目の最小値が$3$以上となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ム}}}{\boxed{\text{メ}\text{モ}}}}\text{，}$最小値が$3$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヤ}\text{ユ}}}{\boxed{\text{ヨ}\text{ラ}\text{リ}}}}\text{，}$最小値が$3$で最大値が$5$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ル}}}{\boxed{\text{レ}\text{ロ}}}}$である．

【２】　放物線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2-x$と直線$y=k$$\text{（}k>0\text{）}$の交点を$x$座標の小さい方から$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$における$C$の接線をそれぞれ$l\text{，}$$m$とし，$l$と$m$の交点を$\mathrm{P}$とする．

(1)　直線$l\text{，}$$m$の方程式と，点$\mathrm{P}$の座標をそれぞれ求めよ．

(2)　$\mathrm{▵ABP}$が正三角形となるような$k$の値を求めよ．

(3)　$\mathrm{\angle PAB}=75\mathrm{°}$となるような$k$の値を求めよ．

(4)　$\mathrm{▵ABP}$の内接円の半径$r$が$2k$以上となるような$k$の最大値を求めよ．

【３】　関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{\displaystyle \frac{\mathit{dt}}{1+t^2}}$

と定める．

(1)　$t=\tan \theta$とおく置換積分法により$f(1)={\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{\mathit{dt}}{1+t^2}}$の値を求めよ．

(2)　$0<a<1$とし，$m$を自然数とするとき，以下の不等式が成り立つことを示せ．

$f(a){\displaystyle {\int }_a^1}{x}^m\mathit{dx}$$<{\displaystyle {\int }_a^1}f(x)x^m\mathit{dx}$$<{\displaystyle {\int }_0^1}f(x)x^m\mathit{dx}$$<f(1){\displaystyle {\int }_0^1}{x}^m\mathit{dx}$

(3)　$\underset{m\to \infty }{\lim }{(1-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{m}}})}^m$を求めよ．必要ならば$s>1$のとき

${(1-{\displaystyle \frac{1}{s}})}^s<{\displaystyle \frac{1}{2}}$

となることを用いてよい．

(4)　$\underset{m\to \infty }{\lim }m{\displaystyle {\int }_{1-\frac{1}{\sqrt{m}}}^1}f(x)x^m\mathit{dx}$を求めよ．