2019　東京理科大学　理工学部B方式2月6日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ロ}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．なお，$\boxed{\text{エ}}$などは既出の$\boxed{\text{エ}}$を表す．

(1)　$0\leqq t\leqq 2\pi$として

$x=1+\cos t\text{，}$$y=-1+2\sqrt{2}\sin t$

と媒介変数表示される曲線$C$の方程式は

${(x-\boxed{\text{ア}})}^2+{\displaystyle \frac{{(y+\boxed{\text{イ}})}^2}{\boxed{\text{ウ}}}}=1$

である．実数$k$に対して直線$y=x+k$が$C$と接するような$k$の値は$2$つあり，小さい方が$-\boxed{\text{エ}}\text{，}$もう一方が$\boxed{\text{オ}}$である．$k=-\boxed{\text{エ}}$のときの接点の座標は$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}},-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}})\text{，}$$k=\boxed{\text{オ}}$のときの接点の座標は$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}})$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ロ}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．なお，$\boxed{\text{エ}}$などは既出の$\boxed{\text{エ}}$を表す．

(2)　$a\text{，}$$b$を実数とし，

$f(x)=x^3+3a{x}^2+bx+1-a^2$

とおく．

(a)　整式$f(x)$が$x-2$で割り切れるような実数の組$(a,b)$のうち$b$の値が最小になるのは，$(a,b)=(\boxed{\text{ソ}},-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}})$のときである．

　このとき，偶関数の性質と部分積分法を用いることにより

${\displaystyle {\int }_{-1}^1}{x}^2{e}^{\left|x\right|}\mathit{dx}$$=\boxed{\text{テ}}{\displaystyle {\int }_0^1}{x}^2{e}^x\mathit{dx}$$=\boxed{\text{ト}}e-\boxed{\text{ナ}}{\displaystyle {\int }_0^1}x{e}^x\mathit{dx}$$=\boxed{\text{ニ}}e-\boxed{\text{ヌ}}$

となるので

${\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(x)e^{\left|x\right|}\mathit{dx}=-\boxed{\text{ネ}\text{ノ}}e-\boxed{\text{ハ}}$

となる．ここで$e$は自然対数の底を表す．

(b)　数列$\{x_n\}$は$x_1=1$で，$n=2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$\cdots$のとき

$x_n=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x_{n-1})}{x_{n-1}}}& \text{（}{x}_{n-1}\ne 0\text{のとき）}\\ 1& \text{（}{x}_{n-1}=0\text{のとき）}\end{array}$

を満たすとする．

　$x_2=2\text{，}$$x_3=5$となるのは$(a,b)=(-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}},\boxed{\text{ヘ}})$のときであり，このとき${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{x_n}{4^n}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ホ}}}{\boxed{\text{マ}}}}$である．また$x_2=2\text{，}$$x_3=0$となるのは$(a,b)=(-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ミ}\text{ム}}}{\boxed{\text{メ}}}},\boxed{\text{モ}\text{ヤ}})$のときであり，このとき${\displaystyle \sum _{n=1}^{31}}{x}_n=\boxed{\text{ユ}\text{ヨ}}$である．ただし，$f^{\prime }(x)$で関数$f(x)$の導関数を表す．

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ロ}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．なお，$\boxed{\text{エ}}$などは既出の$\boxed{\text{エ}}$を表す．

(3)　$p$が素数のとき$p^5$は正の約数をちょうど$\boxed{\text{ラ}}$個もつ．

　次の条件(＊)を考える．

(＊)：正の約数をちょうど$\boxed{\text{ラ}}$個もつ

　条件(＊)を満たす最小の自然数は$\boxed{\text{リ}\text{ル}}$であり，条件(＊)を満たす正の奇数のうち$2$番目に小さいのは$\boxed{\text{レ}\text{ロ}}$である．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の三角形$\mathrm{OAB}$を考える．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．$0<s<1\text{，}$$0<t<1\text{，}$$u>0$を満たす$s\text{，}$$t\text{，}$$u$に対して，辺$\mathrm{OA}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{N}\text{，}$線分$\mathrm{AN}$を$(1+u):u$に外分する点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{BM}$を$(1+u):u$に外分する点を$\mathrm{Q}$とおく．ただし，$m>n>0$を満たす$m\text{，}$$n$に対して，線分$\mathrm{CD}$を$m:n$に外分する点$\mathrm{E}$とは右図のような点である．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$s\text{，}$$t\text{，}$$u$を用いて表せ．

(2)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が同一直線上にあるとする．$u$を$s\text{，}$$t$を用いて表せ．

　以下$\mathrm{A}$$(1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(\cos \theta ,\sin \theta )$$\text{（}0<\theta <\pi \text{），}$$s={\displaystyle \frac{4}{9}}\text{，}$$t={\displaystyle \frac{1}{9}}$とし，$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が同一直線上にあるとする．$k$を実数とし，直線$y=x+k$が点$\mathrm{P}$を通るとする．

(3)　$k$を$\theta$を用いて表せ．

(4)　$\theta$が$0<\theta <\pi$を動くとき，$k$のとる値の範囲を求めよ．

【３】　関数$f(x)$を

$f(x)=x^{-2}$$\text{（}x>0\text{）}$

で定める．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上で曲線$y=f(x)$を$C$とおく．$t>0$とし，点$\mathrm{P}$$(t,f(t))$における$C$の法線を$l$とし，$l$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$$(q,0)$とおく．

(1)　$l$の方程式および$q$を$t$を用いて表せ．

　$q=0$となるような$t$の値を$t_1$とおく．

(2)　$t_1$を求めよ．

　$2$点$\mathrm{R}$$(0,1)\text{，}$$\mathrm{S}$$(1,1)$をとり，$t>t_1$とする．曲線$C$と線分$\mathrm{PQ}\text{，}$$\mathrm{QO}\text{，}$$\mathrm{OR}\text{，}$$\mathrm{RS}$で囲まれた部分の面積を$A(t)$とおく．

(3)　$A(t)$を求めよ．

(4)　極限$\underset{t\to \infty }{\lim }A(t)$を求めよ．