2019　東京理科大学　理学部B方式2月5日実施MathJax

【１】　次の(1)から(3)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$\boxed{}$は$2\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数を表すものとする．なお，分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形で表すこと．また，根号を含む値は，根号の中の自然数が最小になる形で表すこと．

(1)　$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{AC}=5\text{，}$$\mathrm{\angle A}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$である$\mathrm{▵ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とするとき，次の(a)から(c)が成り立つ．

(a)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AO}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$

(b)　$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AO}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$

(c)　$\overrightarrow{\mathrm{AO}}=(\boxed{\text{カ}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\sqrt{2})\overrightarrow{\mathrm{AB}}+(\boxed{\text{ケ}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}\text{シ}}}}\sqrt{2})\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

【１】　次の(1)から(3)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$\boxed{}$は$2\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数を表すものとする．なお，分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形で表すこと．また，根号を含む値は，根号の中の自然数が最小になる形で表すこと．

(2)　$i$は虚数単位とする．複素数平面上の点$\mathrm{M}(3+\sqrt{3}i)$を中心とする半径$\sqrt{3}$の円を$C$とすると，$C$上の任意の点$\alpha$に対して，原点$\mathrm{O}(0)$と点$\alpha$を通る直線は，$C$と共有点をもつ．そこで，共有点が$2$個のとき，点$\alpha$以外の共有点を$\beta$とし，共有点が$1$個のとき，$\beta =\alpha$とする．また，直線$\mathrm{OM}$について点$\beta$と対称な点を$\gamma$とする．このとき，次の(a)から(c)が成り立つ．

(a)　$\left|\alpha \right|\left|\beta \right|=\boxed{\text{ス}}$

(b)　$\alpha \gamma =\boxed{\text{セ}}(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{ソ}}}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{タ}}}})$

(c)　点$\alpha$が$C$上を動くとき，点${\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$の軌跡は，点${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{テ}}}}{\boxed{\text{ト}}}}i$を中心とする半径${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}}{\boxed{\text{ニ}}}}$の円である．

【１】　次の(1)から(3)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$\boxed{}$は$2\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数を表すものとする．なお，分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形で表すこと．また，根号を含む値は，根号の中の自然数が最小になる形で表すこと．

(3)　$3$つの等式

$x^{2}f(x)=3x^5+2x^4+x^3+2{\displaystyle {\int }_0^x}g(t)\mathit{dt}$

$g(x)=xf(x)+4x^3+x^2{\displaystyle {\int }_{-1}^1}g(t)\mathit{dt}$

$f(-1)=g(-1)$

をみたす整式$f(x)\text{，}$$g(x)$を求めると，

$f(x)=\boxed{\text{ヌ}}{x}^3+\boxed{\text{ネ}}{x}^2-\boxed{\text{ノ}}x-\boxed{\text{ハ}\text{ヒ}}$

$g(x)=\boxed{\text{フ}}{x}^4+\boxed{\text{ヘ}\text{ホ}}{x}^3-\boxed{\text{マ}}{x}^2-\boxed{\text{ミ}\text{ム}}x$

となる．

【２】　形と色が異なる$5$種類のタイルがある．形には$\mathrm{S}$型，$\mathrm{L}$型の$2$種類があり，$\mathrm{S}$型のタイルは$2$辺の長さが$1$と$2$であるような長方形，$\mathrm{L}$型のタイルは$2$辺の長さが$1$と$3$であるような長方形をしている．さらに，$\mathrm{S}$型のタイルには赤，青，黄の$3$色，$\mathrm{L}$型のタイルには白，黒の$2$色がある．

　自然数$n$に対して，縦の長さが$1\text{，}$横の長さが$n$であるような長方形をした壁一面にこれらのタイルを隙間なく重なりなく貼るとき，そのようなタイルの並べ方の総数を$a_n$とする．ただし，$a_1=0$とし，タイルは$5$種類とも何枚でも利用できるものとする．

(1)　$a_2$と$a_3$を求めよ．

(2)　$a_n\text{，}$$a_{n+1}$を用いて$a_{n+3}$を表せ．

(3)　$b_n=a_n+a_{n+1}$とおくとき，$b_n\text{，}$$b_{n+1}$を用いて$b_{n+2}$を表せ．

(4)　$c_n=b_{n+1}-q{b}_n$とおくとき，$\{c_n\}$が等比数列となるような定数$q$をすべて求めよ．また，そのときの公比$r$を求めよ．

(5)　$b_n$を求めよ．

(6)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$を求めよ．

(7)　$a_n$を求めよ．

【３】　$e$は自然対数の底，$\log$は自然対数を表すものとする．

(1)　$f(x)=x{e}^x-e^x-x-1$とする．

(a)　実数$a$が$(a)=0$をみたすとき，$f(-a)$の値を計算せよ．

(b)　方程式$f(x)=0$は正の実数解をいくつもつか答えよ．

(2)　$2$つの曲線$y=e^x\text{，}$$y=\log x$をそれぞれ$C_1\text{，}$$C_2$とする．

(a)　$l$を$C_1$と$C_2$の共通の接線とする．$l$と$C_1$との接点を$(a,e^a)\text{，}$$l$と$C_2$との接点を$(b,\log b)$とするとき，$b$を$a$の分数式として表せ．

(b)　$C_1$と$C_2$の共通の接線のうち，傾きが最大のものを$l_1\text{，}$最小のものを$l_2$とする．$l_1$の傾きを$m_1\text{，}$$l_2$の傾きを$m_2$とするとき，$m_1{m}_2$の値を求めよ．

(c)　(b)で定めた$l_1\text{，}$$l_2$に対して，曲線$C_1$と$2$直線$l_1\text{，}$$l_2$で囲まれた部分の面積を$S_1\text{，}$曲線$C_2$と$2$直線$l_1\text{，}$$l_2$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき，${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}$の値を求めよ．