2019　東京理科大学　理学部B方式2月8日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$内のアからフにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートの解答欄の指定された行にマークせよ．ただし，$\boxed{}$は$3$桁の数を表す．また，分数は既約分数として表すものとする．

(1)　実数$a\text{，}$$b$に対して，$a$と$b$の大きい方を$\max \{a,b\}\text{，}$小さい方を$\min \{a,b\}$と表す．ただし，$a=b$の場合は$\max \{a,b\}$$=\min \{a,b\}$$=a=b$とする．実数$x$に対して，

$f(x)=\min \{\max \{{(x-4)}^2,x-2\},-x^2+6x+4\}$

とおく．

(a)　$f(x)={(x-4)}^2$となるための必要十分条件は

$\boxed{\text{ア}}\leqq x\leqq \boxed{\text{イ}}$または$x=\boxed{\text{ウ}}$

であり，$f(x)=x-2$となるための必要十分条件は

$\boxed{\text{エ}}\leqq x\leqq \boxed{\text{オ}}$または$x=-\boxed{\text{カ}}$

である．

(b)　$x$が実数全体を動くとき，$f(x)$の最大値は$\boxed{\text{キ}}$であり，そのときの$x$の値は$x=\boxed{\text{ク}}$である．

(c)　$f(x)=k$となるような実数$x$がちょうど$4$つ存在するような実数$k$の範囲は$\boxed{\text{ケ}}<k<\boxed{\text{コ}}$である．

(d)　$t\geqq 10$を満たす実数$t$に対して，

${\displaystyle {\int }_0^t}f(x)\mathit{dx}$$=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}{t}^3+\boxed{\text{ス}}{t}^2+\boxed{\text{セ}}t-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}\text{タ}\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$

である．

【１】　次の$\boxed{}$内のアからフにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートの解答欄の指定された行にマークせよ．ただし，$\boxed{}$は$3$桁の数を表す．また，分数は既約分数として表すものとする．

(2)　$t$は$0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$を満たす実数とする．座標平面において，$4$つの点

$\mathrm{A}$$(1,0)\text{，}$$\mathrm{P}$$(\cos t,\sin t)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-1,0)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(\cos (\pi +3t),\sin (\pi +3t))$

を頂点とする四角形の面積を$S(t)$とおく．

(a)　三角形$\mathrm{APB}$の面積は$\sin (\boxed{\text{テ}}t)$であり，三角形$\mathrm{ABQ}$の面積は$\sin (\boxed{\text{ト}}t)$である．

(b)　$S(t)$の導関数は$S^{\prime }$$(t)=\boxed{\text{ナ}}\cos t(\boxed{\text{ニ}}{\cos }^{2}t-\boxed{\text{ヌ}})$である．ただし，$\boxed{\text{ナ}}\geqq \boxed{\text{ニ}}$とする．

(c)　$t$が$0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$の範囲を動くとき，$S(t)$の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}$であり，そのときの$\cos t$の値は$\cos t={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ヒ}}}}{\boxed{\text{フ}}}}$である．

【２】　$a$は正の実数とする．座標平面において，双曲線$C_1\text{：}{x}^2-y^2=1$と放物線$C_2\text{：}y=a{x}^2$がちょうど$2$つの共有点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$をもつとする．ただし，点$\mathrm{A}$の$x$座標は正であるとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a$の値，および$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(2)　双曲線$C_1$上の$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$における接線をそれぞれ$l_1\text{，}$$l_2$とする．$l_1$および$l_2$の方程式を求めよ．

(3)　(2)で定めた直線$l_1\text{，}$$l_2\text{，}$および放物線$C_2$で囲まれた部分を$D$とする．$D$の面積を求めよ．

(4)　(3)で定めた$D$を$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x^2}{1+x+x^3}}$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$x\geqq 2$のとき，$f^{\prime }(x)<0$であることを示せ．

(3)　自然数$n$に対して，$a_n={\displaystyle {\int }_n^{n+1}}f(x)\mathit{dx}$とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

(4)　(3)で定めた$a_n$に対して$\underset{n\to \infty }{\lim }n{a}_n$を求めよ．