2019　東京理科大学　理学部数学科2月8日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$内のアからセにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートの解答欄の指定された行にマークせよ．ただし，$\boxed{}$は$2$桁の数を，$\boxed{}$は$3$桁の数を表すものとする．なお，分数は既約分数として表すものとする．

　$n\geqq k$を満たす自然数$n$と$k$に対して，$1$から$n$までの自然数の集合$\{1,2,\cdots ,n\}$の$k$個の要素からなる部分集合$S$で，条件

(C)　$x\in S$ならば，$x+1\in S$または$x-1\in S$

を満たすようなものの個数を$c(n,k)$で表す．ただし，条件を満たす部分集合が存在しない場合には，その個数は$0$であるとする．

(1)　$n>3$のとき，$c(n,3)=\boxed{\text{ア}}n-\boxed{\text{イ}}$である．

(2)　$n>4$のとき，

$c(n,n-1)=\boxed{\text{ウ}}n-\boxed{\text{エ}}\text{，}$

$c(n,4)={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{オ}}}}(n-\boxed{\text{カ}})(n-\boxed{\text{キ}})$

である．ただし，$\boxed{\text{カ}}\geqq \boxed{\text{キ}}$とする．

(3)　$n>6$のとき，$c(n,5)={(n-\boxed{\text{ク}})}^{\boxed{\text{ケ}}}$である．

(4)　集合$\{1,2,3,4,5,6,7\}$の空有集合ではない部分集合の個数は$\boxed{\text{コ}\text{サ}\text{シ}}$であり，そのうち，条件(C)を満たす部分集合の個数は$\boxed{\text{ス}\text{セ}}$である．

【２】　$t$は$0\leqq t\leqq 2$を満たす実数とする．座標平面上の$x\geqq 0$の範囲における，直線$y=-t$と円$x^2+{(y+1)}^2=1$の交点を$\mathrm{A}$とする．また，点$\mathrm{A}$を通り$y$軸に平行な直線と直線$y=x$の交点を$\mathrm{B}$とし，線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$とする．ただし，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が一致するときはその点を$\mathrm{P}$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，(1)，(2)については答えのみを解答すればよい．

(1)　点$\mathrm{P}$の$x$座標，$y$座標をそれぞれ$t$の式で表せ．

(2)　$t$が$0\leqq t\leqq 2$の範囲を動くとき，点$\mathrm{P}$の$x$座標が動く範囲を求めよ．

(3)　$t$が$0\leqq t\leqq 2$の範囲を動くとき，点$\mathrm{P}$の$y$座標が動く範囲を求めよ．

(4)　$t$が$0\leqq t\leqq 2$の範囲を動くとき点$\mathrm{P}$が描く軌跡を$C$とする．また，$C$と$y$軸で囲まれた部分を$D$とする．$D$の面積を求めよ．

(5)　(4)で定めた$D$を$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．