2019　東京理科大学　基礎工学部B方式2月4日実施MathJax

【１】　関数$f(x)\text{，}$$g(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{7}}\sin x+{\displaystyle \frac{1}{7}}\cos x+1\text{，}$$g(x)=3^{-\frac{7}{2}x}$

と定める．

(1)　$f\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．

(2)　$g({\log }_{3}5)={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}}{\boxed{\text{エオカ}}}}$である．ここで，${\log }_3$は$3$を底とする対数関数を表す．

(3)　$x$がすべての実数値を動くとき，$f$と$g$の合成関数$(g\circ f)(x)$のとり得る値の範囲は，

${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{キ}}}}{\boxed{\text{クケコ}}}}\leqq (g\circ f)(x)\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{サ}}}}{\boxed{\text{シス}}}}$

である．

【２】　平面上に，$\mathrm{OA}⫽\mathrm{CB}\text{，}$$\mathrm{OC}⫽\mathrm{AB}$である平行四辺形$\mathrm{OABC}$を考える．辺$\mathrm{AB}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{CB}$を$1:4$に外分する点を$\mathrm{E}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{DE}}=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$である．

(2)　線分$\mathrm{DE}$と線分$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{F}$とすると，

$\overrightarrow{\mathrm{OF}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オカ}}}{\boxed{\text{キク}}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケコ}}}{\boxed{\text{サシ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

である．

(3)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のなす角を$\theta$とする．辺$\mathrm{OA}$の長さが$\sqrt{3}\text{，}$辺$\mathrm{OC}$の長さが$2$であるとき，線分$\mathrm{DE}$と線分$\mathrm{OB}$が直交するのは，

$\cos \theta =-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セソ}}}}\sqrt{\boxed{\text{タ}}}$

のときである．

【３】　数列$\{a_n\}$を

$a_n={\displaystyle \frac{1}{n^4}}{\displaystyle {\int }_1^{e^n}}{\displaystyle \frac{{(\log x)}^3}{x}}{(1-{\displaystyle \frac{\log x}{n}})}^{n+3}\mathit{dx}\text{，}$$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$

と定める．ここで，$e$は$e=\underset{k\to 0}{\lim }{(1+k)}^{\frac{1}{k}}$によって定まる実数とし，$\log$は自然対数とする．

(1)　$a_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イウエ}}}}$である．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項は，

$\begin{array}{ll}{a}_n& ={\displaystyle \frac{1}{n+\boxed{\text{オ}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{n+\boxed{\text{キ}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{n+\boxed{\text{ケ}}}}-{\displaystyle \frac{1}{n+\boxed{\text{コ}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{(n+\boxed{\text{オ}})(n+\boxed{\text{キ}})(n+\boxed{\text{ケ}})(n+\boxed{\text{コ}})}}\end{array}$

と書ける．（上の記述において，$\boxed{\text{オ}}\text{，}$$\boxed{\text{キ}}\text{，}$$\boxed{\text{ケ}}\text{，}$$\boxed{\text{コ}}$は既出の$\boxed{\text{オ}}\text{，}$$\boxed{\text{キ}}\text{，}$$\boxed{\text{ケ}}\text{，}$$\boxed{\text{コ}}$を表している．）

(3)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{スセソ}}}}$となる．

【４】　複素数平面上で，複素数$-2+3i$の表す点を$\mathrm{A}\text{，}$実数$3$の表す点を$\mathrm{B}$とする．さらに，$z$を$|z-1|=3$を満たす複素数とし，複素数平面上で$z$が表す点を$\mathrm{P}$とする．ここで，$i$は虚数単位を表す．

(1)　複素数平面上の$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$間の距離は$\sqrt{\boxed{\text{アイ}}}$である．

(2)　複素数平面上で，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{P}$が一直線上にあるときの複素数$z$は，

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウエ}}}{\boxed{\text{オカ}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キク}}}{\boxed{\text{ケコ}}}}\sqrt{\boxed{\text{サシ}}}+({\displaystyle \frac{\boxed{\text{スセ}}}{\boxed{\text{ソタ}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツテ}}}}\sqrt{\boxed{\text{トナ}}})i\text{，}$

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウエ}}}{\boxed{\text{オカ}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キク}}}{\boxed{\text{ケコ}}}}\sqrt{\boxed{\text{サシ}}}+({\displaystyle \frac{\boxed{\text{スセ}}}{\boxed{\text{ソタ}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツテ}}}}\sqrt{\boxed{\text{トナ}}})i$

の$2$つである．（上の記述において$\boxed{\text{ウエ}}\text{〜}$$\boxed{\text{トナ}}$は既出の$\boxed{\text{ウエ}}\text{〜}$$\boxed{\text{トナ}}$を表している．）

(3)　複素数$z$が，(2)の場合を除いて，$|z-1|=3$を満たすすべての複素数を動くとき，複素数平面上にできる$\mathrm{▵ABP}$の面積の最大値は，

$\boxed{\text{ニ}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ノハ}}}$

である．その最大値を与える$z$の値は，

$\boxed{\text{ヒ}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘホ}}}}\sqrt{\boxed{\text{マミ}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ムメ}}}{\boxed{\text{モヤ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ユヨ}}}i$

である．

【５】　関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{x+3}{x^2-4x+29}}$

と定める．以下の設問に答えよ．

(1)　関数$f(x)$を微分し，その導関数$f^{\prime }(x)$を既約分数式の形に書き表せ．

(2)　$-10\leqq x\leqq 20$のとき，関数$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値，最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

(3)　座標平面上で，曲線$y=f(x)$と直線$y={\displaystyle \frac{1}{5}}$は$2$つの交点をもつ．それらの交点の$x$座標を求めよ．

(4)　座標平面上で，曲線$y=f(x)$と直線$y={\displaystyle \frac{1}{5}}$によって囲まれた図形の面積を求めよ．