2019　東京理科大学　薬学部B方式2月7日実施MathJax

【１】(1)　$x=18\mathrm{°}$とするとき，$\sin 2x=\cos 3x$により

$\sin 18\mathrm{°}={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ア}}}}(\sqrt{\boxed{\text{イ}}}-\boxed{\text{ウ}})\text{，}$${(\sin 36\mathrm{°})}^2={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{エ}}}}(\boxed{\text{オ}}-\sqrt{\boxed{\text{カ}}})$

を得る．

(2)　半径$1$の円に内接する正五角形の面積と，$1$辺の長さが$1$である正五角形の面積はそれぞれ，

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}\text{コ}}+\boxed{\text{サ}}\sqrt{5}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}\sqrt{\boxed{\text{セ}\text{ソ}}+\boxed{\text{タ}\text{チ}}\sqrt{5}}$

である．

(3)　$1$辺の長さが$1$である正五角形$\mathrm{ABCDE}$において，線分$\mathrm{BD}$と線分$\mathrm{CE}$の交点，線分$\mathrm{CE}$と線分$\mathrm{DA}$の交点，線分$\mathrm{DA}$と線分$\mathrm{EB}$の交点，線分$\mathrm{EB}$と線分$\mathrm{AC}$の交点，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$の交点をそれぞれ$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}\text{，}$$\mathrm{I}\text{，}$$\mathrm{J}$とする．このとき，線分$\mathrm{FG}$の長さは${\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ツ}}}}(\boxed{\text{テ}}-\sqrt{\boxed{\text{ト}}})$であり，線分$\mathrm{AI}\text{，}$$\mathrm{IB}\text{，}$$\mathrm{BJ}\text{，}$$\mathrm{JC}\text{，}$$\mathrm{CF}\text{，}$$\mathrm{FD}\text{，}$$\mathrm{DG}\text{，}$$\mathrm{GE}\text{，}$$\mathrm{EH}\text{，}$$\mathrm{HA}$によって囲まれた部分の面積を$S$とすると，その$2$乗$S^2$の値は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}$

である．

【２】　$k\text{，}$$m\text{，}$$n$を自然数とする．黒球が$m$個，白球が$n$個入っている袋がある．この袋の中をよくかき混ぜた後，この袋から球を$1$個取り出す試行を考える．取り出した球が白球であったとき，取り出した白球にあらたに白球を$1$個加えて袋にもどし，試行を繰り返す．取り出した球が黒球であったとき，それ以上試行を繰り返さず終了する．$k$回目の試行が行われ，かつ，ちょうど$k$回目の試行で終了する確率を$p_k$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とする．なお，あらたに加えるための白球は，限りなくたくさんあるものとする．

(1)　$m=n=1$とする．

(a)　$p_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}$$p_4={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}\text{オ}}}}$であり，

$p_k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{(k+\boxed{\text{キ}})(k+\boxed{\text{ク}})}}$$\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

である．ただし，$\boxed{\text{キ}}<\boxed{\text{ク}}\text{．}$

(b)　$80$回以上$2019$回以下試行を繰り返して終了する確率は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}\text{シ}\text{ス}\text{セ}}}}$

である．

(2)　$m=2\text{，}$$n=4$とする．

(a)　$p_k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}\text{タ}}}{(k+\boxed{\text{チ}})(k+\boxed{\text{ツ}})(k+\boxed{\text{テ}})}}$$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$である．ただし，$\boxed{\text{チ}}<\boxed{\text{ツ}}<\boxed{\text{テ}}\text{．}$

(b)　$p_k\leqq {\displaystyle \frac{1}{12800}}$を満たす最小の$k$の値は$\boxed{\text{ト}\text{ナ}}$である．

(c)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{20}}k{p}_k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$である．

【３】　点$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間に，中心$\mathrm{A}$$(0,0,4)\text{，}$半径$2$とする球面$S$があり，$\mathrm{O}$を通る直線が，球面$S$と点$\mathrm{P}$で接するという．$\mathrm{O}$を頂点とし，点$\mathrm{P}$を通り$xy$平面に平行な平面による$S$の切り口が底面となる直円錐を$C$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$のなす角を$\theta$$\text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$とおく．このとき，$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ア}}}}{\boxed{\text{イ}}}}$であり，円錐$C$の底面の半径は$\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$である．また，$C$の体積を$V_1$とすると，$V_1=\boxed{\text{エ}}\pi$である．

(2)　球面$S$の外部で，円錐$C$の側面と球面$S$とで囲まれた部分を$C^{*}$とし，その体積を$V_2$とすると，$V_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\pi$である．

(3)　点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{B}$$(1,1,\sqrt{3})$を通る直線を$l$とする．円錐$C$の中心軸が直線$l$の$x\geqq 0$の部分と重なるように，円錐$C$を傾けて得られる円錐を$C^{\prime }$とする．ただし，傾けた円錐$C^{\prime }$の頂点は点$\mathrm{O}$にあるものとする．

(a)　円錐$C^{\prime }$の底面上の点の$z$座標の最小値を$h$とすると，$h=\sqrt{\boxed{\text{キ}}}$である．

(b)　円錐$C^{\prime }$の側面と平面$z=h$で囲まれた部分の体積を$V_3$とすると，

$V_3={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\sqrt{\boxed{\text{コ}}}\pi$

である．

【４】　$a$を正の実数とする．定義域を$1\leqq x\leqq 4$とする関数$f(x)$を

$f(x)=3^x+3^{4-x}-6a({(\sqrt{3})}^x+{(\sqrt{3})}^{4-x})+a^2+2a-3$

とし，$t(x)={(\sqrt{3})}^x+{(\sqrt{3})}^{4-x}$とする．

(1)　$x$が$1\leqq x\leqq 4$の範囲を動くとき，$t(x)$の取りうる値の範囲は

$\boxed{\text{ア}}\leqq t(x)\leqq \boxed{\text{イ}\text{ウ}}$

である．

(2)　$3^x+3^{4-x}$を$t(x)$用いて表すと${(t(x))}^{\boxed{\text{エ}}}-\boxed{\text{オ}\text{カ}}$となる．

(3)　$f(x)$の最小値を$m(a)\text{，}$最大値を$M(a)$とする．

(a)　$2\leqq a<{\displaystyle \frac{8}{3}}$のとき，

$M(a)=\boxed{\text{キ}}{x}^2-\boxed{\text{ク}\text{ケ}}a+\boxed{\text{コ}\text{サ}}$

$m(a)=-\boxed{\text{シ}}{a}^2+\boxed{\text{ス}}a-\boxed{\text{セ}\text{ソ}}$

である．また，${\displaystyle \frac{8}{3}}\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{10}{3}}$のとき，

$M(a)=\boxed{\text{タ}}{x}^2-\boxed{\text{チ}\text{ツ}}a+\boxed{\text{テ}\text{ト}}$

$m(a)=-\boxed{\text{ナ}}{a}^2+\boxed{\text{ニ}}a-\boxed{\text{ヌ}\text{ネ}}$

である．そして，

${\displaystyle {\int }_2^{\frac{10}{3}}}{(M(a)-m(a))}^2\mathit{da}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}\text{ハ}\text{ヒ}\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}\text{ホ}}}}$

である．

(b)　$m(a)\geqq 22$となるのは，$a\geqq \boxed{\text{マ}\text{ミ}}$のときである．