2019　東京理科大学　理学部応用数学科2月5日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$\boxed{}$は$2\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数を表し，$\boxed{}$は$3\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数を表すものとする．なお，分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形に表すこと．

　$1$から$10$までの番号が書かれている玉がそれぞれ$1$個，合計$10$個ある．はじめは$10$個の玉のすべてが$1$つの袋に入っていて，この袋から$1$個ずつ玉を取り出すことを$10$回繰り返す．

(1)　まず，取り出した玉を袋に戻さない場合を考える．このとき，$n$回目までに取り出した$n$個の玉について，それらの番号の合計が$10$である確率を$p_n$とする．

(a)　$p_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}\text{ウ}}}}\text{，}$$p_3={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}\text{カ}}}}$である．

(b)　$p_1+p_2+\cdots +p_{10}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}\text{ク}\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}\text{サ}\text{シ}}}}$である．

(2)　次に，各回で取り出した玉を袋に戻す場合を考える．このとき，$n$回目までに取り出した$n$個の玉について，それらの番号の合計が$10$である確率を$q_n$とする．

(a)　$q_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}\text{ソ}\text{タ}}}}\text{，}$$q_3={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}\text{テ}\text{ト}}}}$である．

(b)　$q_1+q_2+\cdots +q_{10}={\displaystyle \frac{{\boxed{\text{ナ}\text{ニ}}}^{\boxed{\text{ヌ}}}}{{\boxed{\text{ネ}\text{ノ}}}^{\boxed{\text{ハ}\text{ヒ}}}}}$である．

【２】　$i$は虚数単位とする．

(1)　$x\text{，}$$y$を実数とする．${\sin }^2(x+y)+{\cos }^2(x-y)$を$\sin 2x\text{，}$$\sin 2y$の式で表せ．

(2)　$\beta ={\displaystyle \frac{1+i}{2}}\alpha +{\displaystyle \frac{\pi }{4}}(1+i)$をみたす$2$つの複素数$\alpha \text{，}$$\beta$に対して，$a\text{，}$$b\text{，}$$x\text{，}$$y$を$\alpha =a+bi\text{，}$$\beta =x+yi$であるような実数とするとき，$x+y$と$x-y$を$a\text{，}$$b$の式で表せ．

(3)　$|\alpha +\bar{\alpha }|+|\alpha -\bar{\alpha }|\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$をみたす複素数$\alpha$全体の集合は，複素数平面上のある領域$S_1$になる．$S_1$を図示せよ．

(4)　$S_1$を(3)で定めた複素数平面上の領域とする．

(a)　複素数$\alpha$が$S_1$上を動くとき，${\displaystyle \frac{1+i}{2}}\alpha +{\displaystyle \frac{\pi }{4}}(1+i)$がとり得る値全体の集合は，複素数平面上のある領域$S_2$になる．$S_2$を図示せよ．

(b)　複素数$\alpha$が$S_1$上を動くとき，$\alpha =a+ib$であるような実数$a\text{，}$$b$について，$|\cos a+i\cos b|$がとり得る値の最大値と最小値を求めよ．