2019　同志社大　理系学部2月4日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　$i$を虚数単位とする．等式$(2+\sqrt{3}+i)\alpha +(1-i)\gamma =(3\mathrm{+}\sqrt{3})\beta$を満たす相異なる$3$つの複素数$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$を考え，複素数平面上の$3$点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )\text{，}$$\mathrm{C}(\gamma )$を考える．$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{\angle A}\text{，}$$\mathrm{\angle B}$の大きさを度数法で求めると$\mathrm{\angle A}=\boxed{\text{ア}}\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle B}=\boxed{\text{イ}}\mathrm{°}$であり，$2$辺の比$\mathrm{AB}:\mathrm{AC}$は$\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=\sqrt{2}:\boxed{\text{ウ}}$である．$\alpha =1+i\text{，}$$\beta =3+i$のとき，点$\mathrm{A}$を中心として点$\mathrm{B}$を$60\mathrm{°}$だけ反時計回りに回転した点$\mathrm{D}$を表す複素数は$\boxed{\text{エ}}$であり，直線$\mathrm{AC}$に関して点$\mathrm{D}$と対称な位置にある点を表す複素数は$\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　$n$を$5$以上の自然数とする．箱にコインが$n$枚入っており，その内訳は$1$枚が表と裏の両面が白，$2$枚が両面が黒，残り$(n-3)$枚が表が白で裏が黒である．この箱から$2$枚のコインを同時に取り出して同時に投げたとき，出た面の色が異なる事象を$A\text{，}$出た面の色がともに白の事象を$B\text{，}$出ていない面の色がともに黒の事象を$C\text{，}$出ていない面の色が異なる事象を$D$とする．コインは投げたときに表と裏が同じ確率で出るとすると，確率$P(A)=\boxed{\text{カ}}\text{，}$$P(B)=\boxed{\text{キ}}$であり，条件付き確率$P_B(C)=\boxed{\text{ク}}\text{，}$$P_B(D)=\boxed{\text{ケ}}$である．$P_B(C)=P_B(D)$となるのは$n=\boxed{\text{コ}}$のときである．

【２】　定数$a\text{，}$$b$は$a>b$とする．座標平面上で，$3$つの関数$y=e^{-x}\text{，}$$y=a\sin x\text{，}$$y=b\sin x$に対するそれぞれのグラフの$0\leqq x\leqq 2\pi$の部分を，それぞれ曲線$C\text{，}D\text{，}E$とする．さらに，$2$曲線$C\text{，}D$は共有点$\mathrm{P}$をもち，点$\mathrm{P}$で共通の接線をもつとする．また，$2$曲線$C\text{，}$$E$は共有点$\mathrm{Q}$をもち，点$\mathrm{Q}$で共通の接線をもつとする．この$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p\text{，}$$q$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq 2\pi$のとき，方程式$\sin x+\cos x=0$を解け．

(2)　$a\text{，}$$b\text{，}$$p\text{，}$$q$の値をそれぞれ求めよ．

(3)　曲線$C$の$p\leqq x\leqq q$の部分を$C_1\text{，}$曲線$D$の$0\leqq x\leqq p$の部分を$D_1\text{，}$曲線$E$の$\pi \leqq x\leqq q$の部分を$E_1$とする．これら$3$曲線$C_1\text{，}$$D_1\text{，}$$E_1$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【３】　$xyz$空間において，原点$\mathrm{O}$を中心とする$xy$平面上の半径$1$の円を$C$とする．円$C$上に$y$座標の値が正であるような点$\mathrm{P}$を考え，点$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とする．$zx$平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,0,1)\text{，}$$\mathrm{B}({\displaystyle \frac{2}{5}},0,{\displaystyle \frac{4}{5}})$をとる．次の問いに答えよ．

【４】　$n$を$9$以上の自然数とする．区間$0<x<1$で定義された関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x{(\log x)}^n}}$を考える．次の問いに答えよ．