2019　同志社大　文系学部2月5日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　$0<t<1$とする．放物線$C\text{：}y=x^2$と直線$L$が点$\mathrm{T}(t,t^2)$で接している．このとき，$C$と$L$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_1\text{，}$$C$と$L$と直線$x=1$で囲まれた部分の面積を$S_2$とし，$S=S_1+S_2$とする．$S$を$t$を用いて表すと$S=\boxed{\text{ア}}$である．

　$S$は$t=\boxed{\text{イ}}$で最小値$\boxed{\text{ウ}}$をとり，そのときの${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}$の値は$\boxed{\text{エ}}$である．

　点$\mathrm{T}$を通り$x$軸上に中心がある円$O$を考える．直線$L$が円$O$の接線となるときの円$O$の半径を$t$を用いて表すと$\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　座標空間の$3$点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}(0,1,0)\text{，}$$\mathrm{C}(0,0,1)$が定める平面を$\alpha$とする．点$\mathrm{D}(1,1,2)$から平面$\alpha$に垂線を下ろし，垂線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とすると点$\mathrm{H}$の$x$座標は$\boxed{\text{カ}}$である．

　また，座標空間に点$\mathrm{E}(1,1,1)$をとり，点$\mathrm{P}$は平面$\alpha$上を動くものとする．このとき，線分の長さの和$\mathrm{DP}+\mathrm{PE}$の最小値は$\boxed{\text{キ}}$で，そのときの点$\mathrm{P}$の$y$座標は$\boxed{\text{ク}}$であり，${\mathrm{DP}}^2+{\mathrm{PE}}^2$の最小値は$\boxed{\text{ケ}}$で，そのときの点$\mathrm{P}$の$z$座標は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　数列$\{a_n\}$を

$a_1=-5\text{，}$$a_2=-2\text{，}$$a_n=2a_{n-1}-a_{n-2}+2$$\text{（}n=3\text{，}4\text{，}5\text{，}\cdots \text{）}$

で定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$b_n=a_{n+1}-a_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定まる数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　$a_n$が$3$で割り切れるとき，$n$を$3$で割った余りを求めよ．

(4)　どの項$a_n$も$7$で割り切れないことを示せ．

【３】　半径$1$で線分$\mathrm{AB}$を直径とする円$C_1$の中心を点$\mathrm{O}$とし，半径$r$で中心を点$\mathrm{P}$とする円$C_2$は円$C_1$の内部にあり，点$\mathrm{O}$で直線$\mathrm{AB}$に接しているとする．また，点$\mathrm{A}$から円$C_2$に引いた接線で直線$\mathrm{AB}$とは異なる接線の接点を$\mathrm{C}$とし，直線$\mathrm{AC}$が円$C_1$と交わる点で点$\mathrm{A}$とは異なる点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{▵ABD}$の内接円を円$C_3$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{\angle OAP}=\theta$とする．$\cos \theta$を$r$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{OC}$および線分$\mathrm{AD}$の長さを$r$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{▵ABD}$の面積$S$を$r$を用いて表せ．

(4)　$\mathrm{▵ABD}$の内接円$C_3$の半径$R$を$r$を用いて表せ．

(5)　円$C_2$と円$C_3$が一致するときの$r$を求めよ．