2019　同志社大　文，経済学部2月6日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　各項が整数である数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$を以下を満たすように定める．

$a_n+\sqrt{2}{b}_n={(1-\sqrt{2})}^n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

ここで，$a_{n+1}\text{，}$$b_{n+1}$を$a_n\text{，}$$b_n$を用いて表すと，$u\text{，}$$v$を定数として，

$a_{n+1}=a_n+u{b}_n\text{，}$$b_{n+1}=v{a}_n+b_n$

となる．ただし，$u=\boxed{\text{ア}}\text{，}$$v=\boxed{\text{イ}}$である．また，

$c_n={\displaystyle \frac{a_{n+1}-\sqrt{2}{b}_{n+1}}{a_n-\sqrt{2}{b}_n}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定義される数列$\{c_n\}$の一般項は$c_n=\boxed{\text{ウ}}$である．また，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\boxed{\text{エ}}$である．さらに，

$d_n={a_n}^2-2{b_n}^2$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定義される数列$\{d_n\}$の一般項は$d_n=\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　数直線上を動く点$\mathrm{P}$がはじめに原点$\mathrm{O}$の位置にある．$1$個のさいころを$6$回投げて，順に$1$回目，$2$回目，$\cdots \text{，}$$6$回目とし，各回，次の操作を行う．

　$1$回目は出た目の数だけ$\mathrm{P}$を正の方向に動かす．$2$回目以降は，各回，出た目の数がその$1$つ前に投げたときに出た目の数より小さければ，出た目の数だけ$\mathrm{P}$を正の方向に動かし，そうでないなら動かさない．以下において，確率は既約分数で表すこととする．

　$3$回目に$\mathrm{P}$を$1$以上動かす確率は$\boxed{\text{カ}}$である．$2$回目に$\mathrm{P}$を$1$以上動かし，$3$回目に$\mathrm{P}$を動かさない確率は$\boxed{\text{キ}}$である．

　$1$回目から$3$回目までのすべてで$1$の目が出たとき，$6$回目の操作の結果，点$\mathrm{P}$の座標が$1$である確率は$\boxed{\text{ク}}$である．

　$6$回目の操作の結果，点$\mathrm{P}$の座標が$1$である確率は$\boxed{\text{ケ}}$であり，点$\mathrm{P}$の座標が$23$である確率は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$0<m<3$とする．$1$次関数$f(x)=m(x+3)\text{，}$$3$次関数$g(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3+x^2$について，$xy$平面上の直線$L\text{：}y=f(x)$と曲線$C\text{：}y=g(x)$の$3$つの共有点を$\mathrm{P}(p,f(p))\text{，}$$\mathrm{Q}(q,f(q))\text{，}$$\mathrm{R}(r,f(r))$$\text{（}p<q<r\text{）}$とする．また，曲線$C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた領域を$D_1$とし，その面積を$S_1(m)$とする．同様に，曲線$C$と線分$\mathrm{QR}$で囲まれた領域を$D_2$とし，その面積を$S_2(m)$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を求めよ．

(2)　点$(x,y)$が領域$D_2$内またはその境界線上を動くとき，$-8x+y$の最小値を求めよ．

(3)　$2S_1(m)=S_2(m)$となるとき，$m$の値を求めよ．

【３】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に点$\mathrm{A}(1,0)$と点$\mathrm{B}(0,1)$をとり，$x$軸上に点$\mathrm{P}(p,0)$$\text{（}p>0\text{）}$をとる．線分$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{Q}$を$\mathrm{\angle PBQ}=45\mathrm{°}$となるようにとり，$\mathrm{\angle OBQ}=\theta$とする．さらに，点$\mathrm{A}$を通る$x$軸に垂直な直線と線分$\mathrm{BP}$の交点を$\mathrm{R}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\tan \theta$と線分$\mathrm{AR}$の長さをそれぞれ$p$を用いて表せ．

(2)　${\displaystyle \frac{p}{p+1}}=t$とおく．$\mathrm{AQ}+\mathrm{AR}$を$t$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{P}$が$p>1$を満たしながら$x$軸上を動くとき，$\mathrm{AQ}+\mathrm{AR}$の最大値とそのときの$p$の値を求めよ．

(4)　点$\mathrm{P}$を中心とする半径$\mathrm{AP}$の円を$C$とする．直線$\mathrm{QR}$は円$C$に接することを示せ．