2019　同志社大　政策・文化情報・スポーツ健康科学部文系2月7日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　$n$個の$2$変量データ$(x_i,y_i)$$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n\text{）}$がある．$n\geqq 2$とし，$x_i$$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n\text{）}$は互いに異なるとする，$x_i$と$y_i$に対して関数$y=ax+b$より得られる値$a{x}_i+b$と$y_i$との差の$2$乗和を$n$で割った

$R={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{i=1}^n}{\{y_i-(a{x}_i+b)\}}^2$

を最小にする$a\text{，}$$b$を求めることにする．$R$を$a$と$b$について展開した展開式の各項の係数を，$x$の平均値$\bar{x}$と分散${s_x}^2\text{，}$$y$の平均値$\bar{y}$と分散${s_y}^2$および$x\text{，}$$y$の共分散$s_{xy}$を用いて表すと，

$R=b^2+2\bar{x}ab$$+(\boxed{\text{ア}})a^2-2\bar{y}b$$-2(\boxed{\text{イ}})a+\boxed{\text{ウ}}$

となる．この式の右辺を，まず$b$について平方完成し，次に$a$について平方完成することにより，$R$を最小にする$a\text{，}$$b$は$\bar{x}\text{，}$$\bar{y}\text{，}$${s_x}^2\text{，}$$s_{xy}$を用いて$a=\boxed{\text{エ}}\text{，}$$b=\boxed{\text{オ}}$と求めることができる．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　$1$個のさいころを$3$回投げたとき，目の出方について以下の条件を満たす場合はそれぞれ何通りであるか調べる．ただし，出た目の数を投げた順に$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．$a\leqq b\leqq c$となるのは$\boxed{\text{カ}}$通りである．また，${\log }_{(a+1)}b\geqq c$となるのは$\boxed{\text{キ}}$通りであり，${\log }_{(a+1)}b=c-1$となるのは$\boxed{\text{ク}}$通りである．また，$2$次方程式$a{x}^2+bx+c=0$の解が，重解となるのは$\boxed{\text{ケ}}$通りであり，異なる$2$つの整数となるのは$\boxed{\text{コ}}$通りである．

【２】　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$があるとする．数列$\{a_n\}$は初項$1\text{，}$公差$2$の等差数列である．数列$\{b_n\}$を次のように第$k$群には$k$個の数が入るものとして群に分ける．

$\underset{\text{第}1\text{群}}{b_1|}$$\underset{\text{第}2\text{群}}{b_2,b_3|}$$\underset{\text{第}3\text{群}}{b_4,b_5,b_6|}$$\underset{\text{第}4\text{群}}{b_7,b_8,b_9,b_{10}|}$$\underset{\text{第}5\text{群}}{b_{11},b_{12},b_{13},b_{14},}$$\underset{\cdots \phantom{b_n}}{\cdots \phantom{b_n}}$

このとき，数列$\{b_n\}$の第$n$項$b_n$が第$k$群の最初から数えて$i$番目$\text{（}1\leqq i\leqq k\text{）}$であるとすると，$b_n=a_k+a_i$である．次の問いに答えよ．

(1)　第$k$群は数列$\{b_n\}$の第何項から第何項までか，$k$を用いて表せ．また，第$k$群に入るすべての数の和$S_k$を求めよ．

(2)　$b_{10}\text{，}$$b_{22}\text{，}$$b_{39}$を求めよ．

(3)　$b_n=10$を満たす$n$をすべて求めよ．また，数列$\{b_n\}$において数$60$は何回出てくるか．

(4)　$m$を自然数とする．数列$\{b_n\}$において，ちょうど$m$回出てくる数を$m$を用いて表せ．

【３】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に，$2$つの定点$\mathrm{A}(3,0)\text{，}$$\mathrm{B}(1,2)$と動点$\mathrm{P}(p,q)$をとる．また，点$\mathrm{P}$を通り直線$\mathrm{OA}$に垂直な直線と直線$\mathrm{OA}$の共有点を$\mathrm{C}\text{，}$点$\mathrm{P}$を通り直線$\mathrm{OB}$に垂直な直線と直線$\mathrm{OB}$の共有点を$\mathrm{D}\text{，}$点$\mathrm{P}$を通り直線$\mathrm{AB}$に垂直な直線と直線$\mathrm{AB}$の共有点を$\mathrm{E}$とし，$\mathrm{▵CDE}$の面積を$S$とする．ただし，$3$点$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$が$1$つの直線上にある場合は$S=0$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{CD}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$p\text{，}$$q$を用いてそれぞれ表せ．

(2)　$S$を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(3)　$S=0$を満たしながら点$\mathrm{P}$が座標平面上を動くときの点$\mathrm{P}$の軌跡を求め，座標平面上に$\mathrm{▵OAB}$と共に図示せよ．

(4)　点$\mathrm{P}$が$\mathrm{▵OAB}$の内部を動くときの$S$の最大値とそのときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．