2019　同志社大　神・心理・商・グローバル地域文化学部2月9日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

　$1875$の正の約数の個数は$\boxed{\text{ア}}$個であり，それらの正の約数の和は$\boxed{\text{イ}}$であり，正の約数すべての積を素因数分解した形で表すと$\boxed{\text{ウ}}$である．$1875$の正の約数のなかで$6$番目に小さい正の約数は$\boxed{\text{エ}}$である．

　また，$2019$以下の最大の素数は$\boxed{\text{オ}}$である．$2019$と$1875$との最小公倍数を素因数分解した形で表すと$\boxed{\text{カ}}$である．$1875$と$2019$との積$1875\times 2019$を$1$よりも大きい互いに素である$2$数$a\text{，}$$b$の積で表すとき，そのような$2$数$a\text{，}$$b$の組は$\boxed{\text{キ}}$組ある．ただし，$a<b$とする．

　$2019$の階乗$2019!$を割り切ることができる${1875}^n$の中で最大の整数$n$は$\boxed{\text{ク}}$である．

　${1875}^{2019}$を$11$で割った余りは$\boxed{\text{ケ}}$である．${2019}^{1875}$を素数$p$で割った余りが$6$となる．このような素数$p$の中で最小の素数は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　実数$a\text{，}$$b$に対して$2$次方程式$x^2-ax+b=0$が異なる$2$つの実数解を持つ．この$2$つの解の差を$d$$\text{（}d>0\text{）}$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$2$次方程式$x^2-ax+b=0$が異なる$2$つの実数解を持つ$a\text{，}$$b$の条件を示し，$d$を$a\text{，}$b を用いて表せ．

(2)　$a\text{，}$$b$が$1\leqq a\leqq 2\text{，}-1\leqq b\leqq 0$を満たすとき，$d$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　$a\text{，}$$b$が$|a-3|+\left|b\right|\leqq 2$を満たすとき，$d$のとりうる値の範囲を求めよ．

【３】　$\theta$を$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす定数とする．原点を$\mathrm{O}$とする$xy$平面に$2$点$\mathrm{A}(-1,0)$と$\mathrm{B}(1,0)$をとる．動点$\mathrm{P}(p,q)\text{（}q>0\text{）}$が$\mathrm{\angle APB}=\theta$を満たしている．次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求めよ．

(2)　$\mathrm{▵PAB}$の重心$\mathrm{G}$の軌跡の方程式を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線と点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{PB}$に下ろした垂線の交点$\mathrm{H}$の軌跡の方程式を求めよ．