2019　同志社大　文化情報学部2月27日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　$t={\log }_{2}x$とおくとき，$2{\log }_{2}x-3{\log }_{2x}8$を$t$の式で表すと$\boxed{\text{ア}}$である．不等式$2{\log }_{2}x-3{\log }_{2x}8<5$が成立するような$x$の値の範囲を求める．

　$0<x<{\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，不等式$2{\log }_{2}x-3{\log }_{2x}8<5$が成立する$x$の値の範囲は$0<x<\boxed{\text{イ}}$である．

　${\displaystyle \frac{1}{2}}<x$のとき，不等式$2{\log }_{2}x-3{\log }_{2x}8<5$が成立する$x$の値の範囲は${\displaystyle \frac{1}{2}}<x<\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　$k$を実数とし，放物線$C\text{：}y=x^2-3x-1$と直線$L\text{：}y=kx-(k^2+1)$について考える．放物線$C$と直線$L$とが異なる$2$点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$とで交わるための$k$の値の範囲は$\boxed{\text{エ}}<k<\boxed{\text{オ}}$である．

　このとき，この線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{M}$の$x$座標は$\boxed{\text{カ}}$であり，$y$座標は$\boxed{\text{キ}}$である．また，$k$の値が変化するとき，中点$\mathrm{M}$の軌跡を表す方程式は$y=\boxed{\text{ク}}$であり，$x$の値の範囲は$\boxed{\text{ケ}}<x<\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$1$個のさいころを$2$回投げて，$1$回目に出た目の数を$a\text{，}2$回目に出た目の数を$b$とする．関数$f(x)=x^3-5a{x}^{2.}+3a^{2}x$とする．

　次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の極大値$M_a\text{，}$極小値$m_a$をそれぞれ$a$を用いて表せ．

(2)　$3$次方程式$f(x)=b$の実数解がただひとつとなる確率を求めよ．

【３】　$a\text{，}$$b\text{，}$$p\text{，}$$q$は正の整数とする．$a\leqq b$である．$p$は$1$または素数であり，$q$は素数である．$p$と$p$は互いに素であるとする．$a\text{，}$$b\text{，}$$p\text{，}$$q$が関係式

$(1+{\displaystyle \frac{1}{a}})(1+{\displaystyle \frac{1}{b}})={\displaystyle \frac{q}{p}}$

を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)　$b-a$が奇数であることを示せ．

(2)　$a=2\text{，}p=1$のとき，$b\text{，}$$q$の値の組をすべて求めよ．

(3)　$a\text{，}$$b$がともに素数であるとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$p\text{，}$$q$の値の組をすべて求めよ．