2019　同志社大　理工学部2月10日実施MathJax

(1)　$x>0$のとき，不等式$e^x>1+x+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$が成り立つことを示せ．

(2)　方程式$f(x)=a$が異なる$2$つの正の実数解をもつことを示せ．

(3)　不定積分${\displaystyle \int }{\{f(x)\}}^{2}dx$を求めよ．

(4)　(2)の$2$つの正の実数解を$p\text{，}$$q$$\text{（}p<q\text{）}$とする．$2$直線$x=p\text{，}$$x=q$と曲線$y=f(x)$$\text{（}p\leqq x\leqq q\text{）}$および$x$軸で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V$とする．極限$\underset{a\to +0}{\lim }V$を求めよ．

(1)　関数$f(t)=\log (t+\sqrt{t^2+1})$に対して，導関数${\displaystyle \frac{d}{dt}}f(t)$を求めよ．

(2)　等式${\displaystyle \frac{d}{dt}}(t\sqrt{t^2+1})=a\sqrt{t^2+1}-{\displaystyle \frac{b}{\sqrt{t^2+1}}}$が成り立つように，定数$a\text{，}$$b$の値を定めよ．また，不定積分${\displaystyle \int }\sqrt{t^2+1}dt$を求めよ．

(3)　曲線$C$上の点$(x,y)$に対して，$x-y=t$とおいて，$x$と$y$をそれぞれ$t$で表せ．

(4)　曲線$C$上の点のうち，$x$座標の値が最小である点を$\mathrm{P}\text{，}$$y$座標の値が最小である点を$\mathrm{Q}$とする．$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めよ．

(5)　曲線$C$のうち，(4)の$2$点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の間の部分を$D$とする．曲線$D$の長さを求めよ．

(1)　$(1+2i)(x_1+y_{1}i)=5\text{，}$$(1+2i)(x_2+y_{2}i)=5i$を満たす整数$x_1\text{，}$$y_1\text{，}$$x_2\text{，}$$y_2$を求めよ．

(2)　$s\text{，}$$t$が実数のとき，$(1+2i)(s+ti)$の実部と虚部がともに$0$以上かつ$5$以下となるための$s\text{，}$$t$の条件を求めよ．

(3)　$m_5$を求めよ．また，$(1+2i)(x+yi)$の実部と虚部がともに$1$以上かつ$4$以下となるような整数$x\text{，}$$y$の値の組$(x,y)$をすべて求めよ．

(4)　$z$を複素数とする．${\displaystyle \frac{z}{1+2i}}$の実部と虚部に注目して，$x$が$L$の要素であるとき，$z+5\text{，}$$z+5i$はともに$L$の要素であることを示せ．また，$z$が$L$の要素でないとき，$z+5\text{，}$$z+5i$はともに$L$の要素でないことを示せ．

(5)　$m_{10}$を求めよ．また，$k$を自然数として，$m_{5k}$を$k$を用いて表せ．

(6)　$m_n\leqq 2019<m_{n+1}$となる$n$を求めよ．