2019　同志社大　文化情報学部2月27日実施MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$で，$y={\sin }^{2}x+6\sin x\cos x+7{\cos }^{2}x$の最大値と最小値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　点$\mathrm{P}$が$x$軸上の原点にある．コインを投げて，表が出たら$\mathrm{P}$を$x$軸上，正の方向に$1$だけ移動させ，裏が出たら$\mathrm{P}$を負の方向に$1$だけ移動させる．コインを$8$回投げるときに，$8$回目で$\mathrm{P}$がはじめて原点に戻ってくる確率を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　整式$P(x)$を$x^2-x-2$で割ると余りが$x-1\text{，}$$x^2-2x-3$で割ると余りが$3x+1\text{，}$$x^2-1$で割ると余りが$x-7$である．$P(x)$を$x^3-6x^2+11x-6$で割ったときの余りを求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{4a_n+5}}$によって定められる数列$\{a_n\}$がある．このとき，$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(5)　不等式$2^n<9^{637}<2^{n+1}$をみたす整数$n$を求めよ．ただし，必要であれば${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$を利用せよ．

【２】　$a\text{，}$$b$を正の定数とする．$f(x)=a|x+1|+b|x-1|$とし，$S(x)={\displaystyle {\int }_x^{x+1}}f(t)\mathit{dt}$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$a=1\text{，}$$b=2$の場合，関数$y=f(x)$のグラフを描け．

(2)　$0<a<b$の場合，関数$y=f(x)$の最小値を求めよ．

(3)　$a=1\text{，}$$b=2$の場合，$-2<x<-1$において，$S(x)$を$x$の整式で表せ．

(4)　関数$y=f(x)$が偶関数であるための$a\text{，}$$b$の満たすべき条件を求めよ．

(5)　$0<a<b$の場合，関数$y=S(x)$の最小値を求めよ．

【３】　$1$辺が$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}\text{，}$$\mathrm{AB}$上にそれぞれ点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$をとる．ここで，$\mathrm{BD}=p\text{，}$$\mathrm{CE}=q\text{，}$$\mathrm{AF}=r$とし，$0<p<1\text{，}$$0<q<1\text{，}$$0<r<1$とする．また，直線$\mathrm{AD}$と直線$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{G}$とし，$\mathrm{▵DEF}$の面積を$S$とする．

　次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{▵CDE}$の面積を$p\text{，}$$q$を用いて表せ．また，$S$を$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$p\text{，}$$q\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{CA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$を用いて表せ．

(3)　直線$\mathrm{CF}$が点$\mathrm{G}$を通るときの$r$を$p\text{，}$$q$を用いて表せ．

(4)　$r={\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．点$\mathrm{G}$が線分$\mathrm{CF}$上を動くとき，$S$の最大値とそのときの$p$の値を求めよ．

(5)　$r={\displaystyle \frac{1}{3}}$とする．点$\mathrm{G}$が線分$\mathrm{CF}$上を動くとき，$S$の最大値とそのときの$p$の値を求めよ．