2020　上智大学　経済，外国語,総合人間科学部2月3日実施MathJax

【１】(1)　$73x+61y=1$を満たす整数$x\text{，}$$y$の組のうち，$y$が正で最も小さいものは

$x=\text{ア}\text{，}$$y=\text{イ}$

であり，$x$が正で最も小さいものは

$x=\text{ウ}\text{，}$$y=\text{エ}$

である．

【 １】(2)　実数$a\text{，}$$b$が$0<a<b<{\displaystyle \frac{1}{a}}<b^2$を満たすとき，$\text{あ}\text{〜}$$\text{え}$に選択肢(a)〜(d)の中から正しいものを選んでマークせよ．

(ⅰ)　$x={\log }_{a}b\text{，}$$y={\log }_a{b}^2$のとき，$\text{あ}\text{．}$

(ⅱ)　$x={\log }_{a}ab\text{，}$$y=0$のとき，$\text{い}\text{．}$

(ⅲ)　$x={\log }_a{b}^2\text{，}$$y={\log }_{\frac{1}{a}}b$のとき，$\text{う}\text{．}$

(ⅳ)　$x={\log }_b{\displaystyle \frac{b}{a}}\text{，}$$v={\log }_a{\displaystyle \frac{a}{b}}$のとき，$\text{え}\text{．}$

【２】　右の立方体の展開図を組み立てる．立方体の一辺の長さは$6$であり，点$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{BH}$を$2:1$に内分する点，点$\mathrm{Q}$は辺$\mathrm{LM}$を$2:1$に内分する点である．

(1)　この展開図を組み立てたとき，点$\mathrm{B}$と一致する点は$\text{お}$であり，点$\mathrm{D}$と一致する点は$\text{か}$である．

(2)　立方体の表面を通る$\mathrm{P}$から$\mathrm{Q}$への経路の長さの最小値は$\text{き}$である．

(3)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{L}\text{，}$$\mathrm{P}$を通る平面を$\alpha$とする．立方体を平面$\alpha$で切断するとき，その断面は$\text{く}$であり，断面の面積は$\text{オ}\sqrt{\text{カ}}$である．

(4)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を通る平面を$\beta$とする．立方体を平面$\beta$で切断するとき，その断面は$\text{け}$であり，断面の周の長さは

$\text{キ}\sqrt{\text{ク}}+\text{ケ}\sqrt{\text{コ}}$

である．ただし，$\text{ク}<\text{コ}$とする．

【３】　関数$f(x)=x^2+4x+2$を考える．

　実数$t$に対し，$t\leqq x\leqq t+3$の範囲における$f(x)$の最小値を$g(t)$とすると，

$g(t)=\{\begin{array}{l}\text{こ}\text{（}t\leqq \text{サ}\text{のとき）}\\ \text{さ}\text{（}\text{サ}\leqq t\leqq \text{シ}\text{のとき）}\\ \text{し}\text{（}\text{シ}\leqq t\text{のとき）}\end{array}$

である．

　また，正の実数$s$に対し，

$G(s)=3{\displaystyle {\int }_s^{s+1}}g(t)\mathit{dt}$

とするとき，

$G(s)=\{\begin{array}{l}\text{す}\text{（}0<s\leqq \text{ス}\text{のとき）}\\ \text{せ}\text{（}\text{ス}\leqq s\leqq \text{セ}\text{のとき）}\\ \text{そ}\text{（}\text{セ}\leqq s\text{のとき）}\end{array}$

である．