2020　上智大学　理工学部2月7日実施MathJax

【１】　$n$を自然数とする．$x$の$n$次式$P_n(x)$で

${\displaystyle \frac{\sin ((n+1)\theta )}{\sin \theta }}=P_n(\cos \theta )$$\text{（}0<\theta <\pi \text{）}$

であるものを考える．

(1)

$P_1(x)=\text{ア}x+\text{イ}$

$P_2(x)=\text{ウ}{x}^2+\text{エ}x+\text{オ}$

$P_3(x)=\text{カ}{x}^3+\text{キ}{x}^2+\text{ク}x+\text{ケ}$

である．

(2)　$x$についての恒等式

$P_{n+1}(x)=\text{コ}x{P}_n(x)+\text{サ}{P}_{n-1}(x)$$\text{（}n\geqq 2\text{）}$

が成り立つ．

(3)　$P_4(x)$の$x^4$の項の係数は$\text{シ}$であり，$P_4(1)=\text{ス}$である．

(4)　$P_4(\cos \theta )=0$となる最小の$\theta$$\text{（}0<\theta <\pi \text{）}$は$\theta ={\displaystyle \frac{\text{セ}}{\text{ソ}}}$である．

(5)

$(1-\cos {\displaystyle \frac{\pi }{5}})(1-\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{5}})(1-\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{5}})(1-\cos {\displaystyle \frac{4\pi }{5}})={\displaystyle \frac{\text{タ}}{\text{チ}}}$

である．

【２】　$\log t$を$t$の自然対数，$e$を自然対数の底とする．正の定数$a$に対し，$x$の関数

$f(x)=\log (a{e}^{-x}+e^{2x})+e^{-x}$

が$x=\log 2$で極小値をとるとする．

(1)　$a=\text{ツ}$である．

(2)　点$(0,f(0))$における曲線$y=f(x)$の接線と$x$軸の交点を$(p,0)$とする．

(ⅰ)

$p={\displaystyle \frac{\text{テ}}{\text{ト}}}+{\displaystyle \frac{\text{ナ}}{\text{ニ}}}\log 3$

である．

(ii)　直線$y=m(x-p)$が曲線$y=f(x)$の下側にあるような傾き$m$の値の範囲は

${\displaystyle \frac{\text{ヌ}}{\text{ネ}}}<m\leqq \text{ノ}$

である．

(3)

$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x^2}}{\displaystyle {\int }_x^{2x}}f(t)\mathit{dt}=\text{ハ}$

である．

【３】　座標空間において，点$\mathrm{C}$$(0,0,2)$を中心とする半径$1$の球面を$S$とする．$S$上の点$\mathrm{P}$と$xy$平面上の点${\mathrm{P}}^{\prime }$が条件

「直線$\mathrm{P}{\mathrm{P}}^{\prime }$はベクトル$(2,0,-1)$に平行で，球面$S$と点$\mathrm{P}$で接する」

を満たしながら動くとき，線分$\mathrm{P}{\mathrm{P}}^{\prime }$の動いてできる面を$T$とする．

(1)　点${\mathrm{P}}^{\prime }$$(a,b,0)$の軌跡は長軸の長さ$\text{ヒ}\sqrt{\text{フ}}\text{，}$短軸の長さ$\text{ヘ}$の楕円であり，$a\text{，}$$b$は

$a^2+\text{ホ}{b}^2+\text{マ}a+\text{ミ}b+\text{ム}=0$

を満たす．

(2)　線分$\mathrm{P}{\mathrm{P}}^{\prime }$の長さの最小値は$\text{メ}\sqrt{\text{モ}}+\text{ヤ}$である．

(3)　点$\mathrm{P}$の軌跡を含む平面を$\alpha$とする．平面$\alpha \text{，}$面$T$および$xy$平面で囲まれてできる立体の体積は

$\text{ユ}\sqrt{\text{ヨ}}\pi$

である．

【４】(1)　$4$個の玉の入った袋$\mathrm{A}$と$3$個の玉の入った袋$\mathrm{B}$がある．袋$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$のいずれかを等確率で選び，そこから玉を$1$つ取り出すという試行を考える．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$のいずれかが空になるまでこの試行を繰り返す．このとき，袋$\mathrm{B}$が空になる確率は${\displaystyle \frac{\text{ラ}}{\text{リ}}}$である．

【４】(2)　右図において，動点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{A}$を，動点$\mathrm{Q}$は点$\mathrm{B}$を同時に出発して線上を同じ速さで動く．$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$は出会ったときに移動を止める．このとき，$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$それぞれがたどった経路の長さの和が最小になる場合の数は$\text{ル}$である．

図の中央を除く各マス目は同じ大きさの正方形である．