2020　早稲田大学　スポーツ科学部MathJax

【１】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を，$0\leqq a\leqq b\leqq c$かつ$a+b+c=7$を満たす実数とする．このとき，$ab$の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}$$bc$の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\text{，}$$ca$の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$である．

【２】　不等式

$a{\log }_{10}2+b{\log }_{10}3+c{\log }_{10}5<4{\log }_{10}7$

において，左辺を最大にする自然数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は

$a=\boxed{\text{キ}}\text{，}$$b=\boxed{\text{ク}}\text{，}$$e=\boxed{\text{ケ}}$

である．また，不等式

${\log }_{10}7<1-{\displaystyle \frac{1}{d}}{\log }_{10}2$

において，右辺を最小にする自然数$d$は

$d=\boxed{\text{コ}}$

である．したがって，$7^{21}$は$\boxed{\text{サ}}$桁の数である．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．

【３】　$3$辺の長さの和が$32$であり，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$である二等辺三角形ABCがある．$\mathrm{BC}$の長さを$a\text{，}$三角形$\mathrm{ABC}$に内接する円の半径を$r$とする．

(1)　$r=3$のとき，$a=\boxed{\text{シ}}$または$a=\boxed{\text{ス}}+\boxed{\text{セ}}\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}$である．

(2)　$a$を変化させるとき，内接円の面積が最大となるのは，$r={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$のときである．

【４】　原点を$\mathrm{O}$とする$xy$平面上に，点$\mathrm{A}$$(1,-2)$と点$\mathrm{A}$とは異なる点$\mathrm{P}$がある．また，点$\mathrm{Q}$は直線$\mathrm{AP}$上の点であり，$\overrightarrow{\mathrm{AF}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AQ}}=4$を満たしている．

(1)　点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}\overrightarrow{\mathrm{AP}}$である．

(2)　点$\mathrm{P}$が$y$軸上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡を$C$とすると，$C$は中心$(\boxed{\text{ナ}},\boxed{\text{ニ}})\text{，}$半径$\boxed{\text{ヌ}}$の円から，点$\mathrm{A}$を除いた曲線である．また，点$(3,-2)$を通る直線が図形$C$の接線であるとき，その傾きは，$\pm {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$である．

【５】　原点を$\mathrm{O}$とする$xy$平面において，実数$t$に対して，直線

$L\text{：}y=(2t-3)x-t^2+2$

を考える．直線$L$は，実数$t$の値によらず，放物線$y=a{x}^2+bx+c$の接線となる．このとき，定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値は

$a=\boxed{\text{ハ}}\text{，}$$b=\boxed{\text{ヒ}}\text{，}$$c=\boxed{\text{フ}}$

である．また，$t$が$1\leqq t\leqq 2$を動くときに直線$L$が通過する領域のうち，$0\leqq x\leqq 2$の範囲にある部分の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}$である．