2020　早稲田大学　理工系学部MathJax

【１】　複素数$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$が$\left|\alpha \right|=\left|\beta \right|=\left|\gamma \right|=1$かつ$\alpha +\beta +\gamma =0$を満たすとき，以下の問に答えよ．

(1)　$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$を表す複素平面上の点が正三角形をなすことを示せ．

(2)　${\displaystyle \frac{\alpha \beta }{{\gamma }^2}}+{\displaystyle \frac{\beta \gamma }{{\alpha }^2}}+{\displaystyle \frac{\gamma \alpha }{{\gamma }^2}}$の値を求めよ．

(3)　$n$を$3$で割り切れない自然数とするとき${\alpha }^n+{\beta }^n+{\gamma }^n$の値を求めよ．

【２】　放物線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$を$C$とする．$C$上を動く点を$\mathrm{P}$$(t,{\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^2)$とし，$d$を正の定数とする．点$\mathrm{P}$において$C$に接する半径$d$の円で，中心$\mathrm{Q}$の座標$(X,Y)$が$Y\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^2$を満たすものを考える．このとき，以下の問に答えよ．

(1)　放物線$C$の$\mathrm{P}$における接線の方程式を求めよ．

(2)　放物線$C$の$\mathrm{P}$における法線の方程式を求めよ．

(3)　中心$\mathrm{Q}$の$y$座標$Y$を$t$を用いて表せ．

(4)　$Y$の極小値を求めよ．

【３】　曲線$x=g(y)$の$y\geqq 0$の部分と$x$軸上の線分$0\leqq x\leqq g(0)$のなす曲線を$C$とし，$C$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる容器を$V$とする．ただし，$g(y)$は$y\geqq 0$で定義された正の関数とする．$V$に毎秒一定量$v$の水を注ぐとする．$t$秒後の$V$内の水位を$y=h(t)$とするとき，以下の問に答えよ．

(1)　水位が一定の速さで上昇するとき，$g(y)$は定数関数であることを示せ．

(2)　$g(y)=e^y$のとき，$h(t)$を求めよ．

【４】　箱の中に$a$個の赤玉と$b$個の白玉を合わせて$2020$個入れる．ただし，$a\geqq 1\text{，}$$b\geqq 1$とする．$n$人を一列に並べ，前から順に$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n$と番号をつける．番号$1$の人から順に玉を$1$個取り出し，色を確認したら箱の中へ戻し最後尾に並び直す．これを赤玉が出るまで繰り返す．番号$k$の人が赤玉を引く確率を$p_k^{(n)}\text{，}$また，$\alpha ={\displaystyle \frac{a}{a+b}}\text{，}$$\beta ={\displaystyle \frac{b}{a+b}}$とするとき，以下の問に答えよ．

(1)　$p_1^{(2)}$を$\beta$を用いて表せ．

(2)　各$k=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n-1$に対して，${\displaystyle \frac{p_{k+1}^{(n)}}{p_k^{(n)}}}$を求めよ．

(3)　各$k=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{．}$$n$に対して$g_k=\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_k^{(n)}$とし，

$E={\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}k{q}_k$

と定める．$a\geqq b$のとき，$E$の値を最大にするような$a\text{，}$$b$を求めよ．必要ならば，$\left|r\right|<1$なる実数$r$に対して$\underset{n\to \infty }{\lim }n{r}^n=0$となることを用いてよい．

【５】　以下の問に答えよ．

(1)　関数$y=e^{|x-1|}$のグラフと関数$x=e^{|y-1|}$のグラフを一つの座標平面上に描け．

(2)　連立不等式$\left|y\right|\leqq e^{|x-1|}\text{，}$$\left|y\right|\leqq e^{lx+1|}\text{，}$$\left|x\right|\leqq e^{|y-1|}\text{，}$$lx|\leqq e^{|y+1|}$の表す領域を$D$とする．このとき，$D$を図示せよ．

(3)　領域$D$の面積を求めよ．

(4)　領域$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．