2020　同志社大　理系学部2月7日実施MathJax

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．

(1)　$n$を$5$以上の自然数とする．$4$つの文字$\mathrm{a}\text{，}$$\mathrm{b}\text{，}$$\mathrm{c}\text{，}$$\mathrm{d}$から重複を許して$n$個を選んで左から$1$列に並べ，$n$個の文字の列を作る．ただし，隣り合う文字は必ず異なるものとする．まず$n=5\text{，}$つまり$5$個の文字の列を考えたとき，$\mathrm{b}\text{，}$$\mathrm{c}\text{，}$$\mathrm{d}$をすべて$1$つずつ含み$\mathrm{a}$から始まり$\mathrm{a}$で終わる文字の列は$\text{ア}$通りあり，$\mathrm{b}$を$1$つだけ含み$\mathrm{a}$から始まり$\mathrm{a}$で終わる文字の列は$\text{イ}$通りある．次に$n$個の文字の列を考えたとき，$\mathrm{d}$を$1$つも含まない$\mathrm{a}$から始まる文字の列は$\text{ウ}$通り，$\mathrm{d}$は$1$つも含まないが$\mathrm{b}\text{，}$$\mathrm{c}$をいずれも$1$つ以上含む$\mathrm{a}$から始まる文字の列は，$\text{エ}$通り，$\mathrm{b}\text{，}$$\mathrm{c}\text{，}$$\mathrm{d}$をすべて$1$つ以上含む$\mathrm{a}$から始まる文字の列は$\text{オ}$通りある．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．

(2)　$a\text{，}$$b$を正の実数，$i$を虚数単位，$P(x)=x^4-a{x}^3+b{x}^2-2ax+4$とし，方程式$P(x)=0$が複素数$\alpha =1+i$を解にもつとする．$b$を$a$で表すと$b=\text{カ}$である．また，$\alpha =1+i$は，実数係数の$2$次式$Q(z)=x^2-2x+\text{キ}$に対して，方程式$Q(x)=0$の解となる．このとき，$P(x)=Q(x)R(x)$である．ここで$R(x)$は$x$についての$2$次式で，$x$の$1$次の項の係数は$\text{ク}$である．これより，$P(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつような$a$の値の範囲を$a>a_0$とすると，$a_0=\text{ケ}$である．さらに，$a>a_0$のとき，複素数の範囲で考えた$P(x)=0$の$\alpha$以外の解を$\beta \text{，}$$\gamma \text{，}$$\delta$とすると，複素数平面上の$4$点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )\text{，}$$\mathrm{C}(\gamma )\text{，}$$\mathrm{D}(\delta )$のうちのいずれかの$3$点が一直線上にあるのは$a=\text{コ}$のときである．

【２】　$f(x)=1+(e-1)\log x$$\text{（}x>0\text{）}$とし，曲線$y=f(x)$を$C$とする．ただし，$e$は自然対数の底である．次の問いに答えよ．

(1)　$f(1)\text{，}$$f(e)$を求めよ．

(2)　$g(x)=f(x)-x$とする．関数$y=g(x)$の増減を調べ，その極値を求めよ．さらに，$g(x)\geqq 0$を満たす$x$の値の範囲を求めよ．

(3)　$f(x)$の不定積分${\displaystyle \int }f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

(4)　$C$と直線$y=x$によって囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【３】　$xyz$空間の$4$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$はいずれも原点を中心とするある球面$S$上にあり，四面体$\mathrm{ABCD}$は正四面体であるとする．さらに，点$\mathrm{A}$の座標は$(1,1,4)\text{，}$点$\mathrm{B}$は$xy$平面上にあり，点$\mathrm{C}$の$x$座標は正である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　球面$S$の半径を求めよ．

(2)　正四面体$\mathrm{ABCD}$の一辺の長さを$a$とする．点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{BCD}$に垂線$\mathrm{AH}$を下ろす．このとき，線分$\mathrm{AH}$の長さを$a$を用いて表せ．

(3)　正四面体$\mathrm{ABCD}$の一辺の長さ$a$を求めよ．

(4)　点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(5)　点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

【４】　$r$は$0<r<1$を満たす実数とする．次の問いに答えよ．

(1)　$r^{-x^2}{\displaystyle \frac{d}{\mathit{dx}}}(x^2{r}^{x^2})$を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{2}}}\left|x\right|(1+x^2\log r)r^{x^2}\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　和${\displaystyle \sum _{i=1}^n}i{r}^{i-1}$を求めよ．

(4)　$n$を自然数として，定数$a_i$$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{，}$$n\text{）}$の値は，$-1\text{，}$$-\sqrt{2}\text{，}$$-\sqrt{3}\text{，}$$\cdots \text{，}$$-\sqrt{n}$のいずれかであり，互いに異なるように定めるものとする．また，定数$b_i$$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{，}$$n\text{）}$の値は，$1\text{，}$$\sqrt{2}\text{，}$$\sqrt{3}\text{，}$$\cdots \text{，}$$\sqrt{n}$のいずれかであり，互いに異なるように定めるものとする．この定数$a_i\text{，}$$b_i$を用いて，$T_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n}{\displaystyle {\int }_{a_i}^{b_i}}\left|x\right|(1+\sin x+x^2\log r)r^{x^2-1}\mathit{dx}$とおく．このとき，$T_n$は$a_i$と$b_i$の定め方によらずに$n$と$r$だけで定まることを示し，$T_n$を$n$と$r$の式で表せ．さらに，$\underset{n\to \infty }{\lim }{T}_n$を計算せよ．ただし，必要ならば$\underset{n\to \infty }{\lim }n{r}^n=0$であることを証明なしに用いてよい．