2020　同志社大学　理工学部2月10日実施MathJax

2020-14861-0901

2020　同志社大学　理工学部2月10日実施

易□　並□　難□

【１】　次のに適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついたの中に記入せよ．

(1)　 $n$ を $5$ 以上の自然数とする． $1$ から $n$ までの異なる番号をつけた $n$ 個の袋があり，番号 $k$ の袋には黒玉 $k$ 個と白玉 $n - k$ 個が入っている．まず，番号 $k$ $（ 1 ≦ k ≦ n ）$ が定まっているとき，その番号 $k$ の袋から玉を $1$ つ取り出してもとに戻す試行を $5$ 回繰り返す．このとき，黒玉を $3$ 回取り出す確率を $p_{n} (k) ，$ 少なくとも $1$ 回白玉を取り出す確率を $q_{n} (k)$ とすると， $n = 5$ の場合は $p_{5} (k) = ア，$ $q_{5} (k) = イ$ であり， $n > 5$ の場合は $p_{n} (k) = ウ$ である．次に， $n$ 個の袋から無作為に $1$ つ袋を選び，その選んだ袋から玉を $1$ つ取り出してもとに戻す試行を $5$ 回繰り返す．このとき，黒玉を $3$ 回取り出す確率を $r_{n}$ とすると， $r_{n}$ は $p_{n} (k)$ を用いて $r_{n} = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} p_{n} (k)$ と表される．例えば， $r_{5}$ の値は $エ$ である．また，極限値 $\underset{n \to \infty}{iim} r_{n}$ は $オ$ である．

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【１】　次のに適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついたの中に記入せよ．

(2)　 $x (t) = t^{3} - \frac{3}{4} t ，$ $y (t) = - \frac{3}{2} t^{2} + \frac{1}{8}$ として， $x = x (t) ，$ $y = y (t)$ で表される $x, y$ 平面上の曲線を $C$ とする． $C$ は $x$ 軸と $2$ 点 $(p, q) = (\pm カ, 0)$ で交わり， $x$ 軸の正の部分にある交点における $C$ の接線の傾きは $キ$ である．次に，異なる $2$ つの実数 $t_{1} ，$ $t_{2}$ $（ t_{1} < t_{2} ）$ に対して， $x (t_{1}) = x (t_{2}) ，$ $y (t_{1}) = y (t_{2})$ が成り立つとすると， $t_{1} = ク，$ $t_{2} = ケ$ である．さらに，曲線 $C$ の $t_{1} ≦ t ≦ t_{2}$ の部分を $C_{0}$ とおくと， $C_{0}$ の長さは $コ$ である．

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【２】　 $a$ と $b$ を正の定数とする．関数 $f (x) = a + b (1 + \cos x) \sin x$ $（ 0 ≦ x ≦ 2 π ）$ の最小値が $\frac{1}{2}$ であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　 $f^{'} (x) = 0$ を満たす $x$ の値を $0 ≦ x ≦ 2 π$ の範囲ですべて求めよ．

(2)　 $f (x)$ の最小値が $\frac{1}{2}$ であることを用いて， $a$ を $b$ で表せ．

(3)　曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸，および $2$ 直線 $x = 0 ，$ $x = 2 π$ で囲まれた図形を $S$ とする． $S$ の面積が $2 π$ となるとき， $a ，$ $b$ の値を求めよ．

(4)　 $a ，$ $b$ の値は(3)で求めた値とする．このとき， $S$ を $x$ 軸の周りに $1$ 回転させてできる立体の体積を求めよ．

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【３】　 $n$ を自然数とし，関数 $f_{n} (x) = e^{x} - (1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!}) ，$ $E_{n} (x) = \frac{1}{n!} \int_{0}^{x} {(x - t)}^{n} e^{t} dt$ を考える．次の問いに答えよ．

(1)　関数 $y = e^{- x} f_{n} (x)$ に対して， $\frac{dy}{dx}$ を求めよ．また，それを用いて， $x > 0$ のとき不等式 $f_{n} (x) > 0$ が成り立つことを示せ．

(2)　 $M$ を正の定数とする．(1)より， $x > 0$ のとき $e^{x} > \frac{x^{n}}{n!}$ である．これを用いて， $\lim_{n \to \infty} \frac{M^{n}}{(n + 1)!} = 0$ であることを示せ．

(3)　 $E_{1} (x)$ を求めよ．

(4)　 $n ≧ 2$ とする． $E_{n} (x) = E_{n - 1} (x) + a_{n} x^{n}$ となるような $a_{n}$ を求めよ．

(5)　 $E_{n} (x) = f_{n} (x)$ であることを示せ．

(6)　正の実数 $x_{0}$ に対して， $\lim_{n \to \infty} f_{n} (x_{0}) = 0$ であることを示せ．

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【４】　座標平面上に点 $S$ $(0, - 1)$ をとり，双曲線 $y^{2} - x^{2} = 1$ の第 $1$ 象限にある部分を $C$ とおく． $C$ 上に動点 $P$ をとり，点 $P$ から $y$ 軸に下ろした垂線と $y$ 軸との交点を $Q$ とし， $∠PSQ = θ$ とする．さらに，線分 $PS$ 上の点 $R$ は，点 $P$ と異なり， $QR = QP$ を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点 $P$ の $x$ 座標が $1$ になるときの $θ$ の値を $θ_{1} ，$ $▵PQR$ が正三角形になるときの $θ$ の値を $θ_{2}$ とおく． $\tan 2 θ_{1}$ と $\tan 2 θ_{2}$ の値を求めよ．

(2)　点 $P$ の座標を $\cos 2 θ$ と $\sin 2 θ$ を用いて表せ．

(3)　 $PR : RS = r : (1 - r)$ $（ 0 < r < 1 ）$ とおく． $r$ を $\cos 2 θ$ を用いて表せ．

(4)　点 $R$ の座標を $\cos 2 θ$ と $\sin 2 θ$ を用いて表せ．また，それを用いて，点 $P$ が $C$ 上を動くとき，点 $R$ が描く軌跡の方程式を求めよ．さらに，(1)で定めた $θ_{1}$ と $θ_{2}$ に対して，点 $R$ の軌跡のうちで $θ_{1} ≦ θ ≦ θ_{2}$ の部分の長さを求めよ．