2020　気象大学校　多肢選択式問題MathJax

【１】　$x\text{，}$$y$を実数とする．次の記述の$\text{㋐}\text{，}$$\text{㋑}\text{，}$$\text{㋒}$に当てはまるものを$\mathrm{A}\text{〜}$$\mathrm{D}$から選び出したものの組合せとして正しいのはどれか．

・$xy>0$は，$\text{「}x>0$かつ$y>0\text{」}$であるための$\text{㋐}\text{．}$

・$xy=0$は，$\text{「}x=0$または$y=0\text{」}$であるための$\text{㋑}\text{．}$

・$xy=1$は，$\text{「}x=1$または$y=1\text{」}$であるための$\text{㋒}\text{．}$

$\mathrm{A}$．必要条件であるが十分条件でない

$\mathrm{B}$．十分条件であるが必要条件でない

$\mathrm{C}$．必要十分条件である

$\mathrm{D}$．必要条件でも十分条件でもない

	$\text{㋐}$	$\text{㋑}$	$\text{㋒}$
$\text{1．}$	$\mathrm{A}$	$\mathrm{A}$	$\mathrm{B}$
$\text{2．}$	$\mathrm{A}$	$\mathrm{C}$	$\mathrm{D}$
$\text{3．}$	$\mathrm{B}$	$\mathrm{A}$	$\mathrm{B}$
$\text{4．}$	$\mathrm{B}$	$\mathrm{B}$	$\mathrm{A}$
$\text{5．}$	$\mathrm{B}$	$\mathrm{C}$	$\mathrm{D}$

【２】　頂点が$\mathrm{O}\text{，}$母線の長さが$3\text{，}$底面が線分$\mathrm{AB}$を直径とする半径$1$の円である直円錐があり，母線$\mathrm{OA}$上に$\mathrm{OC}=1$となる点$\mathrm{C}$をとる．図のように，点$\mathrm{A}$から母線$\mathrm{OB}$上の点を通って点$\mathrm{C}$を通過し，点$\mathrm{B}$に到達する側面上の経路のうち，最短となるものの長さはいくらか．

$\text{1．}6$$\text{2．}\sqrt{7}+\sqrt{13}$$\text{3．}2\sqrt{2}+2\sqrt{3}$$\text{4．}3+\sqrt{11}$$\text{5．}2\sqrt{10}$

【３】　変量$x$のデータの値が次のように与えられている．

$-1\text{，}$$2\text{，}$$-2\text{，}$$1\text{，}$$0\text{，}$$-1\text{，}$$2\text{，}$$0\text{，}$$-1$

このとき，$u=9x+8$によって定まる変量$u$の標準偏差はいくらか．

$\text{1．}12$$\text{2．}14$$\text{3．}16$$\text{4．}20$$\text{5．}24$

【４】　箱の中に，$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{I}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{K}\text{，}$$\mathrm{K}\text{，}$$\mathrm{O}$の文字が$1$文字ずつ書かれた$8$枚のカードが入っている．この箱の中から無作為に全てのカードを$1$枚ずつ取り出し，取り出した順に横一列に並べるとき，同じ文字が連続して現れない確率はいくらか．

　ただし，一度取り出したカードは元に戻さないものとする．

$\text{1．}{\displaystyle \frac{2}{7}}$$\text{2．}{\displaystyle \frac{3}{7}}$$\text{3．}{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{4．}{\displaystyle \frac{4}{7}}$$\text{5．}{\displaystyle \frac{5}{7}}$

【５】　$xy-x+3y=2019$を満たす正の整数の組$(x,y)$は何組あるか．

$\text{1．}27\text{組}$$\text{2．}29\text{組}$$\text{3．}31\text{組}$$\text{4．}33\text{組}$$\text{5．}35\text{組}$

【６】　$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{AC}=4\text{，}$$\mathrm{\angle BAC}=60\mathrm{°}$である図のような$\mathrm{▵ABC}$に対し，$\mathrm{\angle BAC}$の二等分線と$\mathrm{▵ABC}$の外接円の交点を$\mathrm{D}$とし，$\mathrm{▵ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とする．このとき，$\mathrm{BD}$及び$\mathrm{DI}$の長さの組合せとして正しいのはどれか．

	$\mathrm{BD}$	$\mathrm{DI}$
$\text{1．}$	$\sqrt{7}$	$\sqrt{6}$
$\text{2．}$	$\sqrt{7}$	$\sqrt{7}$
$\text{3．}$	$\sqrt{7}$	$2\sqrt{2}$
$\text{4．}$	$2\sqrt{2}$	$\sqrt{7}$
$\text{5．}$	$2\sqrt{2}$	$2\sqrt{2}$

【７】　$x=1+\sqrt{2}i$のとき，$x^{100}-2x^{99}$$+3x^{98}+2x^3$$-3x^2+3x+4$の値はいくらか．ただし，$i$は虚数単位とする．

$\text{1．}-2+\sqrt{2}i$$\text{2．}-1-\sqrt{2}i$$\text{3．}-\sqrt{2}i$$\text{4．}1+\sqrt{2}i$$\text{5．}2-\sqrt{2}i$

【８】　$2$点$\mathrm{A}$$(0,2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(4,0)$に対して，条件${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2=30$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡は，直線$y=3x$と$2$点で交わる．この$2$交点間の距離はいくらか．

$\text{1．}\sqrt{10}$$\text{2．}2\sqrt{3}$$\text{3．}3\sqrt{2}$$\text{4．}3\sqrt{3}$$\text{5．}\sqrt{30}$

【９】　座標平面上の点$\mathrm{P}$が単位円$x^2+y^2=1$の周上を動くとき，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$$(3,1)$を通る直線の傾きの最大値はいくらか．

$\text{1．}{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{2．}{\displaystyle \frac{2}{3}}$$\text{3．}{\displaystyle \frac{3}{4}}$$\text{4．}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$\text{5．}1$

【10】　$t=2^x+2^{-x}\text{，}$$y=(2^{3x+2}+2^{-3x+2})$$-5(2^{2x}+2^{-2x})$に対し，$x$が実数全体を動くとき，$t$の値域と$y$の最小値の組合せとして正しいのはどれか．

	$t\text{の値域}$	$y\text{の最小値}$
$\text{1．}$	$t\geqq 1$	$-{\displaystyle \frac{23}{4}}$
$\text{2．}$	$t\geqq 1$	$-2$
$\text{3．}$	$t\geqq 2$	$-{\displaystyle \frac{23}{4}}$
$\text{4．}$	$t\geqq 2$	$-3$
$\text{5．}$	$t\geqq 2$	$-2$

【11】　$2$次関数$f(x)$は

$f(0)=-1\text{，}$$f^{\prime }(1)=-2\text{，}$${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)\mathit{dx}=0$

を満たしているとする．このとき，${\displaystyle {\int }_0^1}|f(x)|\mathit{dx}$の値はいくらか．

$\text{1．}{\displaystyle \frac{4}{27}}$$\text{2．}{\displaystyle \frac{2}{9}}$$\text{3．}{\displaystyle \frac{8}{27}}$$\text{4．}{\displaystyle \frac{4}{9}}$$\text{5．}{\displaystyle \frac{8}{9}}$

【12】　第$n$項が$1$から$n$までの連続する整数の$2$乗の和である次の数列を考える．

$1^2,$$1^2+2^2,$$1^2+2^2+3^2,\cdots ,$$1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2,\cdots$

この数列の初項から第$19$項までの和はいくらか．

　なお，必要ならば

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^2={\displaystyle \frac{1}{6}}n(n+1)(2n+1)\text{，}$${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^3={\{{\displaystyle \frac{1}{2}}n(n+1)\}}^2$

が成り立つことを用いてもよい．

$\text{1．}13300$$\text{2．}13800$$\text{3．}14300$$\text{4．}14800$$\text{5．}15300$

【13】　座標空間内の$2$点$\mathrm{A}$$(5,-1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(3,2,1)$を通る直線を$l$とするとき，点$\mathrm{C}$$(-4,1,4)$と$l$の距離はいくらか．

$\text{1．}2\sqrt{6}$$\text{2．}4\sqrt{2}$$\text{3．}6$$\text{4．}2\sqrt{10}$$\text{5．}3\sqrt{5}$