2020　気象大学校　記述式問題MathJax

【１】　次の条件で定まる数列$\{a_n\}$を考える．

$a_1=1\text{，}$$a_2={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}={\displaystyle \frac{1}{S_n{S}_{n-1}}}$$\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

ここで，$S_n$は$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を表す．以下の設問に答えよ．

(1)　$n$を$2$以上の整数とする．$S_{n+1}$を$S_n\text{，}$$S_{n-1}$を用いて表せ．

(2)　$n$を正の整数とする．$S_{n+1}$を$S_n$を用いて表せ．

(3)　全ての正の整数$n$に対し，$1\leqq S_n<2$が成り立つことを示せ．

(4)　正の整数$n$に対し，$T_n={\displaystyle \frac{1}{2-S_n}}$とおく．$T_{n+1}$を$T_n$を用いて表せ．

(5)　$\{S_n\}$及び$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(6)　全ての$2$以上の整数$n$に対し，

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}k{a}_k<2+{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}{\displaystyle \frac{1}{T_k}}<4$

が成り立つことを示せ．

【２】　図のように，$xy$平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C\text{，}$$C$上の点$\mathrm{P}$を中心とする半径$a$の円を$C_{\mathrm{P}}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$x$軸のなす角を$\theta$とする．ここで，$a$は$0<a<1$を満たす定数とし，$\theta$は$x$軸の正の部分を始線として原点$\mathrm{O}$を中心に反時計回りに測った角を正の角とする．

　$\theta$が$0\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で変化するとき，$C$と$C_{\mathrm{P}}$の$2$本の共通接線のうち，共通接線と$C$との接点を$\mathrm{Q}$として，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$と$x$軸のなす角$\phi$が$\phi >\theta$を満たすものを$l_1\text{，}$もう一方の共通接線を$l_2$とする．ただし，$\phi$の符号は$\theta$と同様に定め，$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\phi <\pi$とする．以下の設問に答えよ．

(1)　$\theta =0$としたとき，直線$l_1$の方程式を求めよ．

(2)　$x=1$及び$y=1$が共に$C$と$C_{\mathrm{P}}$の共通接線となるとき，$\mathrm{P}$の座標と$a$の値を求めよ．

(3)　以下，(2)で求めた$a$の値を$a_0$とし，$0<a<a_0$かつ$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のときを考える．また，$l_1$及び$l_2$のうち，$x$軸，$y$軸とも正の部分で交わるものを$L$とする．

(ⅰ)　${\theta }_1$を，$0<\theta \leqq {\theta }_1$において$L$が$1$本のみ存在し，${\theta }_1<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$において$L$が$2$本存在するように定めるとき，$\cos {\theta }_1$の値を$a$を用いて表せ．

(ⅱ)　$L$と$x$軸の交点の$x$座標を$a\text{，}$$\theta$を用いて表せ．ただし，$L$が$2$本存在するときは全て求めること．

(ⅲ)　$l_1$と$x$軸，$l_1$と$y$軸それぞれの交点を結ぶ線分の長さを$d$とする．$d$を最小にする$\theta$の値を${\theta }_0$とするとき，$\tan 2{\theta }_0$の値を$a$を用いて表せ．

【３】　$m\text{，}$$n$を正の整数とし，$2n$次の多項式関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{m^n}{n!}}{x}^n{(\pi -x)}^n$

により定義する．ここで，$\pi$は円周率である．以下の設問に答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq \pi$における$f(x)$の最大値$M$を求めよ．また，不等式

$0<{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f(x)\sin x\mathit{dx}<2M$

が成り立つことを示せ．

(2)　$f(x)$の第$k$次導関数を$f^{(k)}(x)$と表すとき，

$\{\begin{array}{ll}{a}_k=f^{(k)}(0)\text{，}{b}_k=f^{(k)}(\pi )& \text{（}k=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}2n\text{）}\\ I_k={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{f}^{(2k)}(x)\sin x\mathit{dx}& \text{（}k=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}\end{array}$

を考える．ただし，$f^{(0)}(x)=f(x)$とする．

(ⅰ)　$k=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$n-1$に対して，$I_k$を$I_{k+1}\text{，}$$a_{2k}\text{，}$$b_{2k}$を用いて表せ．

(ⅱ)　$k=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$n-1$に対して，$a_k=0$を示せ．

　また，$k=n+l$$\text{（}l=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$n-1\text{）}$に対して，

$a_k=a_{n+l}={(-1)}^l{\displaystyle \frac{(n+l)!}{n!}}{}_{n}C_l{m}^n{\pi }^{n-l}$

であることを示せ．

(ⅲ)　$f(x)=f(\pi -x)$の関係式が成り立つことを用いて，$k=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$2n$に対して，

$b_k={(-1)}^k{a}_k$

が成り立つことを示せ．

(ⅳ)　$I_0$を$a_k$$\text{（}k=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$2n\text{）}$を用いて表せ．

(3)　次の命題を，(1)，(2)の結果と以下の事実(a)，(b)を用いて示せ．

命題「円周率$\pi$は無理数である．」

(a)　$a$が有理数ならば，$a={\displaystyle \frac{q}{p}}$となる整数$p\text{，}$$q$が存在する．

(b)　任意の正の実数$b$に対して，次の不等式を満たす正の整数$n$が存在する．

${\displaystyle \frac{b^n}{n!}}<{\displaystyle \frac{1}{2}}$