2021　東京理科大学　経営学部B方式2月2日実施MathJax

【１】　$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6$の目が出る確率が等しいさいころと，表と裏の出る確率が等しい硬貨がある．さいころを$1$回投げ，出た目の回数だけ硬貨を投げるとき，表の出た回数を$a\text{，}$裏の出た回数を$b$とする．次の問いに答えなさい．

(1)　$a=b$になる確率を求めなさい．

(2)　$b>4$になる確率を求めなさい．

(3)　$a=0$になる確率を求めなさい．

(4)　$a>b$になる確率を求めなさい．

【２】　四角形$\mathrm{ABCD}$が，半径${\displaystyle \frac{14}{3}}\sqrt{3}$の円に内接している．また，$\sin \mathrm{\angle CBD}:\sin \mathrm{\angle BCD}:\sin \mathrm{\angle BDC}$$=7:8:3$が成り立っているものとする．辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{AD}$の長さをそれぞれ$x\text{，}$$y$（ただし，$x<y）$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$\cos \mathrm{\angle BCD}$を求めなさい．

(2)　$\mathrm{BD}$の長さを求めなさい．

(3)　三角形$\mathrm{BCD}$と三角形$\mathrm{ABD}$の面積が等しいとき，$x\text{，}$$y$の値を求めなさい．

【３】　座標平面に曲線$C\text{：}y=x^k$がある．ただし，$k$は$2$よりも大きい整数とする．$C$上の点$\mathrm{P}$の座標を$(t,t^k)$（ただし，$t>0\text{）}$とし，$\mathrm{P}$における接線を$l_t\text{，}$$\mathrm{P}$を通り$y$軸と平行な直線を$l_n\text{，}$$l_t$に関して$l_n$と対称な直線を$l_r$として以下の問いに答えなさい．

(1)　直線$l_r$の方程式を$t$を用いて表しなさい．

(2)　$l_r$が原点を通るような$\mathrm{P}$の$x$座標を$t_k$とする．$t_k$を$k$を用いて表しなさい．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=3}^{\infty }}{t}_k^{2(k-1)}$の値を求めなさい．

【１】　次の文章中の$\text{ア}$から$\text{ソ}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，$$は$1$$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数，$$は$2$$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数である．また，分数は既約分数として表しなさい．

(1)　正三角形の頂点を反時計回りに$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$とする．また，投げたとき表，裏の出る確率がそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$のコインがある．

　点$\mathrm{P}$が最初に頂点$\mathrm{A}$にある．次の操作を行う．

操作：コインを投げ，表が出れば点$\mathrm{P}$を反時計回りに隣接する頂点に移動させ，裏が出れば点$\mathrm{P}$を時計回りに隣接する頂点に移動させる．

$n$回の操作を行った後に点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$にある確率を$a_n$とする．ただし，$n$は正の整数である．このとき，$a_1=\text{ア}$である．$a_{n+1}$を$a_n$の式で表すと，$a_{n+1}={\displaystyle \frac{\text{イ}}{\text{ウ}}}-{\displaystyle \frac{\text{エ}}{\text{オ}}}{a}_n$となる．$a_n$を$n$の式で表すと，

$a_n={\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キ}}}-{\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}}}{(-{\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}}})}^{n-1}$

となる．

【１】　次の文章中の$\text{ア}$から$\text{ソ}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，$$は$1$$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数，$$は$2$$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数である．また，分数は既約分数として表しなさい．

(2)　実数$x\text{，}$$y$が，$1\leqq x\leqq 4\text{，}$$y\geqq 1\text{，}$および，$x^2-x=y^2+y$を満たす．このとき，$4x^3-9y^3$の最大値は$\text{シ}\text{ス}$であり，最小値は$\text{セ}\text{ソ}$である．

【２】　次の文章中の$\text{ア}$から$\text{サ}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，$$は$1$$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数，$$は$2$$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数である．また，分数は既約分数として表しなさい．

　座標平面において，不等式

$x^2+y^2\leqq 25$

の表す領域を$S$とし，領域$S$の境界線を$T$とする．領域$S$内で，$x$座標と$y$座標がいずれも$0$以上の整数である点全体の集合を$I$とする．

(1)　$T$は原点を中心とし，半径が$\text{ア}$の円である．集合$I$の要素の個数は$\text{イ}\text{ウ}$である．集合$I$に属する点のうち，円$T$にあるものは$4$個であり，$x$座標の小さい点から順番に点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$とすると，それらの座標は，

点$\mathrm{A}(0,5)\text{，}$

点$\mathrm{B}(\text{エ},\text{オ})\text{，}$

点$\mathrm{C}(\text{カ},\text{キ})\text{，}$

点$\mathrm{D}(5,0)$

である．

(2)　$k$を実数とする．集合$I$に属するすべての点が不等式

$kx+y-5\leqq 0$

を満たすとき，$k$の最大値は${\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}}}$である．

(3)　点$(x,y)$が領域$S$内を動くとき，$3x+4y$の最大値は$\text{コ}\text{サ}$である．

【３】　関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{3}{2}}|x-3|-{\displaystyle \frac{3}{2}}|x-1|+2(x-1)$

とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　座標平面において，$y=f(x)$のグラフをかきなさい．

(2)　関数$g(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+px+q$が次の$2$つの条件を満たすとき，$p\text{，}$$q$の値を求めなさい．

条件１：$y=g(x)$と直線$y=x$の共有点はただ$1$つである．

条件2：$y=f(x)$と$y=g(x)$の共有点はただ$1$つで，その共有点は$1\leqq x\leqq 3$の範囲にある．