2021　東京理科大学　理学部B方式2月8日実施MathJax

【１】　次の$\text{ア}$から$\text{ホ}$において，$$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$$は$1$$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数，$$は$2$桁の数，$$は$3$桁の数を表すものとする．分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形で表すこと．また，$\text{あ}\text{，}$$\text{い}\text{，}$$\text{う}\text{，}$$\text{え}$には，あてはまる符号をマークせよ．

(1)　座標平面上の円$C$は$2$点$\mathrm{A}$$(1,3)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,-2)$を通るとする．

(a)　円$C$の中心の座標を$(c,d)$とすると，$c\text{，}$$d$は関係式

$c-\text{ア}d+\text{イ}=0$

を満たす．

(b)　円$C$の中心の$x$座標が$4$のとき，円$C$の半径は$\sqrt{\text{ウ}\text{エ}}$である．

　また，このとき，円$C$の方程式は

$x^2+y^2$$=\text{オ}x+\text{カ}y-\text{キ}$

である．

(c)　円$C$の中心の$x$座標は$4$であるとする．点$\mathrm{P}$$(x,y)$が円$C$上を動くとき，$x-y$の最大値は$\text{ク}+\sqrt{\text{ケ}\text{コ}}$である．

【１】　次の$\text{ア}$から$\text{ホ}$において，$$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$$は$1$$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数，$$は$2$桁の数，$$は$3$桁の数を表すものとする．分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形で表すこと．また，$\text{あ}\text{，}$$\text{い}\text{，}$$\text{う}\text{，}$$\text{え}$には，あてはまる符号をマークせよ．

(2)　$i$を虚数単位とする．さいころを投げて，出た目によって複素数平面上を動く点$\mathrm{P}$がある．点$\mathrm{P}$が点$z$にあるとき，$1$個のさいころを投げて，

・出た目が$1$または$2$ならば，点$\mathrm{P}$は点$iz$に移動する．

・出た目が$3$または$4$ならば，点$\mathrm{P}$は点$-iz$に移動する．

・出た目が$5$または$6$ならば，点$\mathrm{P}$は点$z$にとどまる．

点$\mathrm{P}$が点$z=1$から出発するとき，以下の問いに答えよ．

(a)　さいころを$2$回投げるとき，点$\mathrm{P}$がちょうど虚軸上にある確率は${\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}}$である．

(b)　さいころを$3$回投げるとき，点$\mathrm{P}$がちょうど実軸上にある確率は${\displaystyle \frac{\text{ス}\text{セ}}{\text{ソ}\text{タ}}}$である．

(c)　さいころを$5$回投げるとき，点$\mathrm{P}$がちょうど点$z=1$にある確率は${\displaystyle \frac{\text{チ}\text{ツ}}{\text{テ}\text{ト}\text{ナ}}}$である．

【１】　次の$\text{ア}$から$\text{ホ}$において，$$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$$は$1$$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数，$$は$2$桁の数，$$は$3$桁の数を表すものとする．分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形で表すこと．また，$\text{あ}\text{，}$$\text{い}\text{，}$$\text{う}\text{，}$$\text{え}$には，あてはまる符号をマークせよ．

(3)　以下の問いに答えよ．

(a)　$f(x)$は$3$次関数であり，

$f(0)=2\text{，}$$f(1)=f(2)=f(3)=0$

を満たすとする．

　このとき，

$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{x^3}}=\text{あ}{\displaystyle \frac{\text{ニ}}{\text{ヌ}}}$

である．また，$f(x)$の$x=1$における微分係数は

$f^{\prime }(1)=\text{い}{\displaystyle \frac{\text{ネ}}{\text{ノ}}}$

である．

(b)　$g(x)$は$5$次関数であり，

$g(1)=g(2)=g(3)=g(4)=g(5)=0\text{，}$$g(6)=2$

を満たすとする．

　このとき，$g(x)$の$x=4$における微分係数は

$g^{\prime }(4)=\text{う}{\displaystyle \frac{\text{ハ}}{\text{ヒ}\text{フ}}}$

である．また，

${\displaystyle {\int }_0^6}\{g(x)-g(0)\}\mathit{dx}=\text{え}\text{へ}\text{ホ}$

である．

【２】　座標空間内に平行六面体$\mathrm{OABC‐DEFG}$があり，

$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(2,1,1)\text{，}$$\mathrm{C}(1,2,3)\text{，}$$\mathrm{F}(2,3,4)$

であるとする．また，線分$\mathrm{EF}$上に点$\mathrm{H}$を，線分$\mathrm{GH}$と線分$\mathrm{EF}$が垂直になるようにとり，$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}$が定める平面を$\alpha$とおく．

　このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$4$点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{G}$の座標を求めよ．

(2)　点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

(3)　平面$\alpha$と線分$\mathrm{AE}$の交点の座標を求めよ．

(4)　平面$\alpha$による平行六面体$\mathrm{OABC‐DEFG}$の切り口の面積を求めよ．

【３】　正の実数$x$に対して定義された関数

$f(x)=[\sqrt{x}]+\sqrt{x}\text{，}$$g(x)=2\sqrt{x}-1$

について考える．ここで，実数$b$に対して，$[b]$は$b$以下の最大の整数を表す．

　関数$f(x)$が連続でない$x$の値を小さい順に，$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}\cdots$とする．例えば，$a_1=1$である．また，自然数$n$に対し，定義域が$a_n\leqq x\leqq a_{n+1}$である関数$f_n(x)$を

$f_n(x)=\{\begin{array}{ll}f(x)& \text{（}{a}_n\leqq x<a_{n+1}\text{）}\\ g(a_{n+1})& \text{（}x=a_{n+1}\text{）}\end{array}$

と定める．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　自然数$n$に対して，$a_n$を求めよ．

(2)　$x>0$に対して，$g(x)<f(x)\leqq g(x)+1$を示せ．

(3)　次の値を求めよ．

${\displaystyle \sum _{n=1}^6}{\displaystyle {\int }_{a_n}^{a_{n+1}}{f}_n(x)\mathit{dx}}$

(4)　$4$つの曲線$y=f_2(x)\text{，}$$y=f_3(x)\text{，}$$y=g(x)\text{，}$$y=g(x)+1$で囲まれた図形の面積を求めよ．

(5)　$4$つの曲線$y=f_2(x)\text{，}$$y=f_3(x)\text{，}$$y=g(x)\text{，}$$y=g(x)+1$で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．