2021　東京理科大学　先進工学部B方式2月4日実施MathJax

【１】　$x$を$0\leqq x<2\pi$の範囲の実数として，関数

$f(x)=\sqrt{3}\cos x+5\sin x-3$

を考える．

(1)

$f\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)=\text{ア}\sqrt{\text{イ}}-\text{ウ}\text{，}$

$f({\displaystyle \frac{2}{3}}\pi )=\text{エ}\sqrt{\text{オ}}-\text{カ}$

である．

(2)　$k$を実数の定数として，方程式$f(x)=k$が実数解をもつような$k$の値の範囲は，

$-\text{キ}-\text{ク}\sqrt{\text{ケ}}\leqq k$$\leqq -\text{コ}+\text{サ}\sqrt{\text{シ}}$

である．

(3)　方程式$f(x)=1$は異なる$2$つの実数解をもつ．$1$つは，${\displaystyle \frac{\pi }{\text{ス<mspace width=".2em"></mspace>}}}$であり，もう$1$つは，

$\cos \alpha =-{\displaystyle \frac{\text{セ}}{\text{ソタ}}}\sqrt{\text{チ}}\text{，}$$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{\text{ツテ}}{\text{トナ}}}\text{，}$$0\leqq \alpha <2\pi$

を満たす$\alpha$である．

【２】　原点を$\mathrm{O}$とする座標空間内に$3$点$\mathrm{A}$$(2,-1,3)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-2,1,5)\text{，}$$\mathrm{C}$$(2,3,1)$をとり，四面体$\mathrm{OABC}$と三角形$\mathrm{ABC}$を考える．

(1)　線分$\mathrm{BC}$の長さは，$\text{ア}$である．

(2)　点$\mathrm{A}$から線分$\mathrm{BC}$に垂線を下ろし，線分$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$は，

$\overrightarrow{\mathrm{AD}}={\displaystyle \frac{\text{イ}}{\text{ウ}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{\text{エ}}{\text{オ}}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

と書けて，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$の大きさは

$\left|\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right|={\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キ}}}\sqrt{\text{クケ}}$

となる．これらのことより，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\text{コ}\sqrt{\text{サシ}}$となる．

(3)　点$\mathrm{O}$から三角形$\mathrm{ABC}$に垂線を下ろし，三角形$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{E}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$は，

$\overrightarrow{\mathrm{AE}}={\displaystyle \frac{\text{ス}}{\text{セソ}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{\text{タチ}}{\text{ツテ}}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

と書ける．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$の大きさの$2$乗と，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AE}}$は，

${\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|}^2=\text{トナ}\text{，}$${\left|\overrightarrow{\mathrm{AE}}\right|}^2={\displaystyle \frac{\text{ニヌネ}}{\text{ノハ}}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AE}}=-{\displaystyle \frac{\text{ヒフヘ}}{\text{ホマ}}}$

と得られ，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$の大きさは

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OE}}\right|={\displaystyle \frac{\text{ミム}}{\text{メモ}}}\sqrt{\text{ヤユ}}$

となる．これらのことより，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は${\displaystyle \frac{\text{ヨラ}}{\text{リ}}}$となる．

【３】　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}{x}^2-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}}\log x-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}\log 3$$\text{（}x>0\text{）}$

を考える．ただし，$\log$は自然対数とする．

(1)　$f(x)$は$0<x\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ア}}}{\text{イ}}}$で単調減少，${\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ア}}}{\text{イ}}}\leqq x$で単調増加となり，$x={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ア}}}{\text{イ}}}$で最小値

${\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ウ}}}{\text{エオ}}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{\text{カ}}}{\text{キ}}}\log \text{ク}$

をとる．（上の記述において，$\text{ア}\text{，}$$\text{イ}$は既出の$\text{ア}\text{，}$$\text{イ}$を表している．）

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_1^3}f(x)\mathit{dx}$の値は，

${\displaystyle {\int }_1^3}f(x)\mathit{dx}={\displaystyle \frac{\text{ケ}}{\text{コ}}}\sqrt{\text{サ}}-\sqrt{\text{シ}}\log \text{ス}$

となる．

(3)　座標平面上の曲線

$y=f(x)$$\text{（}1\leqq x\leqq 7\text{）}$

の長さ$L$は，

$L=\text{セソ}\sqrt{\text{タ}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{\text{チ}}}{\text{ツ}}}\log \text{テ}$

となる．

【４】　以下の設問に答えなさい．ただし，空欄(あ)〜(え)については，適切な数または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

　平面上に，一辺の長さが$2$の正三角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1$が与えられているとする．$3$つの辺${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1\text{，}$${\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1\text{，}$${\mathrm{C}}_1{\mathrm{A}}_1$をそれぞれ，$3:5$に内分する点を${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{B}}_2\text{，}$${\mathrm{C}}_2$とおき，三角形${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_2$を定める．次に，三角形${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_2$に対しても，$3$つの辺${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2\text{，}$${\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_2\text{，}$${\mathrm{C}}_2{\mathrm{A}}_2$をそれぞれ，$3:5$に内分する点を${\mathrm{A}}_3\text{，}$${\mathrm{B}}_3\text{，}$${\mathrm{C}}_3$とおき，三角形${\mathrm{A}}_3{\mathrm{B}}_3{\mathrm{C}}_3$を定める．同様の操作を続け，$n$を自然数とし，三角形${\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n$に対して，$3$つの辺${\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n\text{，}$${\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n\text{，}$${\mathrm{C}}_n{\mathrm{A}}_n$をそれぞれ，$3:5$に内分する点${\mathrm{A}}_{n+1}\text{，}$${\mathrm{B}}_{n+1}\text{，}$${\mathrm{C}}_{n+1}$をとり，三角形${\mathrm{A}}_{n+1}{\mathrm{B}}_{n+1}{\mathrm{C}}_{n+1}$を定めていく．この状況で，

$a_n=\text{三角形}{\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n\text{の面積，}$$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$

とおき，数列$\{a_n\}$を定義する．

(1)　$a_1=\text{(あ)}$である．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項は，

$a_n=\text{(い)}\text{，}$$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$

と書ける．

(3)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$は収束し，その和は$\text{(う)}$となる．

(4)　$k$を自然数とし，数列$\{b_n\}$を

$b_n={\displaystyle \frac{a_{k(n-1)+1}}{a_1}}\text{，}$$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$

と定める．このとき，無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{b}_n$は収束するが，その和が

$|{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{b}_n-1|<{10}^{-15}$

を満たすような自然数$k$の最小のものは$\text{(え)}$である．

　ここで，必要ならば，以下の近似値を用いよ．

${\log }_{10}2\fallingdotseq 0.3010\text{，}$${\log }_{10}19\fallingdotseq 1.2788\text{，}$${\log }_{10}({10}^{15}+1)\fallingdotseq 15.0000$

なお，(え)の値を導く過程を解答用紙の所定の欄に書きなさい．

【５】　以下の設問に答えなさい．ただし，空欄(あ)〜(え)については，適切な数または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

　$a$を実数の定数とし，$2$つの関数$f(x)\text{，}$$g(x)$を

$f(x)=-e^{-\frac{x}{2}}+a\text{，}$$g(x)=e^{\frac{x}{2}}+4e^{-\frac{x}{2}}$

と定め，座標平面上の$2$つの曲線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$を考える．ここで，$e$は$e=\underset{t\to 0}{\lim }{(1+t)}^{\frac{1}{t}}$によって定まる実数とする．

(1)　$y=f(x)$の接線で，点$(4,a)$を通るものの方程式は，

$\text{(あ)}$

と書ける．

(2)　$y=f(x)$と$y=g(x)$がただ$1$つの共有点$\mathrm{P}$をもつとき，$a=\text{(い)}$であり，その共有点$\mathrm{P}$の座標は，

$\text{(う)}$

である．

(3)　点$\mathrm{P}$と定数$a$は(2)のものとする．曲線$y=f(x)$の点$\mathrm{P}$における法線を$n$とおいて，曲線$y=f(x)$と$x$軸および法線$n$で囲まれた図形の面積は，

$\text{(え)}$

である．なお，(え)の値を導く過程を解答用紙の所定の欄に書きなさい．