2021　早稲田大学　人間科学部共通テスト利用MathJax

【１】

(1)　ある感染症の検査では，感染している人が正しく陽性（感染している）と判定される確率が${\displaystyle \frac{7}{10}}\text{，}$感染していない人が正しく陰性（感染していない）と判定される確率が${\displaystyle \frac{99}{100}}$である．以下の問いに答えよ．

(a)　感染者が$1$人である$1000$人の集団から$1$人を選び，この検査を実施したところ，陽性と判定された．このとき，この人が本当に感染している確率を求めよ．

(b)　(a)とは別の$1000$人の集団から$1$人を選び，この検査を実施したところ，陽性と判定された．この人が本当に感染している確率が${\displaystyle \frac{9}{10}}$以上となるのは，この集団が少なくとも何人の感染者を含むときか，その人数を求めよ．

【１】

(2)　$x>0$のとき，$3x+{\displaystyle \frac{1}{x^3}}$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

【１】

(3)　$m$は整数の定数とする．連立不等式

$\{\begin{array}{l}4x+m<5x+9\\ 4x<5m\end{array}$

を満たす整数$x$の個数が$5$となるような$m$の値をすべて求めよ．

【２】　$1$辺の長さが$2\text{，}$対角線の交点を$\mathrm{O}$とする正方形$\mathrm{ABCD}$の紙を使って容器を作る．厚さやのりしろは無視してよいものとする．以下の問いに答えよ．

(1)　正方形$\mathrm{ABCD}$から三角形$\mathrm{OAD}$を切り取って捨てる．五角形$\mathrm{OABCD}$を用いて，$\mathrm{OB}$と$\mathrm{OC}$を折り曲げ，$\mathrm{OA}$と$\mathrm{OD}$を接着することによって三角錐状の容器を作る．この容器の容積$V_a$を求めよ．

(2)　正方形$\mathrm{ABCD}$に内接し，点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円において，中心角$\theta$の扇形$\mathrm{OPQ}$を考える．この扇形$\mathrm{OPQ}$を切り出し，$\mathrm{OP}$と$\mathrm{OQ}$を接着し，円錐状の容器を作る．$x={\displaystyle \frac{\theta }{2\pi }}\text{，}$$t=x^2$とし，この容器の容積を$V$とするとき，$V^2$を$t$で表せ．また，$V$の最大値$V_b$を求めよ．

(3)　正方形$\mathrm{ABCD}$から半径$1$の半円を$2$つ切り出し，(2)と同様の方法で円錐状の容器を$2$つ作る．この$2$つの容器の容積の合計$V_c$を求めよ．

(4)　$V_a\text{，}$$V_b\text{，}$$V_c$の大小関係を判定せよ．

【３】

(1)　直線$l$が，$2$つの放物線$C_1\text{：}y=x^2+6x+8\text{，}$$C_2\text{：}y=x^2-2x+4$のいずれにも接しているとき，$I\text{，}$$C_1\text{，}$$C_2$で囲まれる領域の面積を求めよ．

【３】

(2)　正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の内部に点$\mathrm{P}$があり，$\mathrm{▵ABP}\text{，}$$\mathrm{▵CDP}\text{，}$$\mathrm{▵EFP}$の面積がそれぞれ$8\text{，}$$10\text{，}$$13$であるとき，$\mathrm{▵FAP}$の面積を求めよ．

【３】

(3)　数列$\{a_n\}$が次の$2$つの条件を満たしている．

$a_2=10$

$a_{n+2}=a_{n+1}-a_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，$a_{2021}$がとりうる値を求めよ．

【４】　数列$\{a_n\}$は$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$に対して，

$4{\displaystyle \sum _{k=1}^n}(n+1-k)a_k$$=n^4-4n^3-16n^2+11n$

を満たすものとする．以下の問いに答えよ．

(1)　$a_1$の値を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$S_n$の最小値とそのときの$n$の値を求めよ．

【５】　$0<\theta <2\pi$に対して，原点を$\mathrm{O}$とする座標空間内に$2$点$\mathrm{P}$$(\cos \theta ,2\sin \theta ,0)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(2\cos \theta ,\sin \theta ,1)$をとる．$\theta$を$0\leqq \theta <2\pi$で動かしたとき，線分$\mathrm{PQ}$が通過してできる図形を$H$とする．さらに，平面$z=0\text{，}$平面$z=1\text{，}$図形$H$で囲まれてできる立体を$V_1$とする．また，図形$H$を$z$軸のまわりに$1$回転させてできる立体を$V_2$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　図形$H$と平面$z=t$$\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$が交わってできる図形の方程式を求めよ．

(2)　立体$V_1$の体積を求めよ．

(3)　立体$V_2$の体積を求めよ．