2021　同志社大学　理系学部全学部日程2月4日実施MathJax

2021-14861-0101

2021　同志社大学　文化情報学部理系，理工学部，生命医科学部理系，心理学部理系，スポーツ健康科学部理系

全学部日程2月4日実施

易□　並□　難□

(1)　 $1$ から $9$ までの番号のついた札が，袋 $α$ にはそれぞれ $1$ 枚ずつ合計 $9$ 枚，袋 $β$ にはそれぞれ $2$ 枚ずつ合計 $18$ 枚入っている．袋 $α$ から札を $1$ 枚ずつ $3$ 回続けて取り出し，取り出した順に左から右に並べて $3$ 桁の整数 $m$ をつくる．次に，袋 $β$ から札を $1$ 枚ずつ $3$ 回続けて取り出し，取り出した順に左から右に並べて $3$ 桁の整数 $n$ をつくる．ただし，どちらにおいても取り出した札は袋に戻さない． $m$ が奇数である事象を $A$ とする． $m$ が $3$ の倍数である事象を $B$ とする．このとき，確率 $P (A) = ア，$ $P (B) = イ$ であり，条件付き確率 $P_{A} (B) = ウ$ である． $n > 550$ である事象を $C$ とする． $m > n$ である事象を $D$ とする．このとき，確率 $P (C) = エ，$ $P (D) = オ$ である．

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易□　並□　難□

【１】　次のに適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついたの中に記入せよ．

(2)　 $i$ を虚数単位， $α = \sqrt{23} + \sqrt{2} i$ とする．複素数平面上で，原点を中心とする円に内接する正三角形の $1$ つの頂点が点 $α$ であるとき，残りの頂点を表す複素数を $β ，$ $γ$ とする．このとき， $| α + β + γ | ，$ $| α β + β γ + γ α | ，$ $| α β γ |$ の値はそれぞれ $カ，$ $キ，$ $ク$ である．次に，この $3$ 点 $α ，$ $β ，$ $γ$ を実軸方向に $- 1 ，$ 虚軸方向に $1$ だけ平行移動した点をそれぞれ $α^{'} ，$ $β^{'} ，$ $γ^{'}$ とする．このとき， $| α^{'} + β^{'} + γ^{'} | ，$ $| α^{'} β^{'} + β^{'} γ^{'} + γ^{'} α^{'} |$ の値はそれぞれ $ケ，$ $コ$ である．

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【２】　定数 $k$ は $k > 1$ とする． $O$ を原点とする座標平面上の楕円 $C ： \frac{k^{2}}{2} x^{2} + \frac{1}{2 k^{2}} y^{2} = 1$ と $C$ 上の点 $D$ $(\frac{1}{k}, k)$ を考える．次の問いに答えよ．

(1)　点 $D$ における楕円 $C$ の接線が， $x$ 軸および $y$ 軸と交わる点をそれぞれ $E ，$ $F$ とする． $E ，$ $F$ の座標を $k$ で表せ．

(2)　点 $D$ における楕円 $C$ の法線が，直線 $y = - x$ と交わる点を $G$ とする． $G$ の座標を $k$ で表せ．さらに， $∠EGF$ の大きさを求めよ．

(3)　 $▵GEF$ の面積を $S ，$ $▵OEF$ の面積を $T$ とする． $S = \sqrt{2} T$ のとき， $k^{2}$ の値を求めよ．さらに，このとき， $∠OEF$ の大きさを求めよ．

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【３】　 $n$ を自然数とし，次の条件を満たす数列 ${a_{n}}$ と ${b_{n}}$ を考える．

$a_{1} = 1 ，$ $(n + 3) a_{n + 1} - (n + 1) a_{n} = 2 (n + 1)$ $（ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

$b_{1} = 1 ，$ $\sum_{k = 1}^{n} k b_{k} = a_{n} (\sum_{k = 1}^{n} b_{k})$ $（ n = 2 ， 3 ， 4 ， \dots ）$

次の問いに答えよ．

(1)　 $a_{2} ，$ $b_{2}$ を求めよ．

(2)　 $c_{n} = (n + 2) (n + 1) a_{n}$ $（ n = 1 ，$ $2 ，$ $3 ，$ $\dots ）$ とおく． $c_{n + 1} - c_{n}$ を $n$ で表せ．

(3)　 $n ≧ 1$ とする．このとき， $a_{n}$ を $n$ で表せ．

(4)　 $n ≧ 2$ とする．このとき， $s_{n - 1} = \sum_{k = 1}^{n - 1} b_{k}$ とし， $b_{n} = d_{n} s_{n - 1}$ を満たす $d_{n}$ を考える．このとき， $d_{n}$ を $n$ で表せ．ただし，必要ならば，次の等式が成り立つことを証明なしで用いてよい．

$a_{n} (\sum_{k = 1}^{n} b_{k}) - a_{n - 1} (\sum_{k = 1}^{n - 1} b_{k})$ $= a_{n} b_{n} + (a_{n} - a_{n - 1}) s_{n - 1}$

(5)　 $n ≧ 2$ とする．このとき， $b_{n}$ を $n$ で表せ．

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【４】　 $n$ を自然数とする．関数 $f (x) = \sin^{2} x + 4 x \sin x + 4 \cos x$ を考える．次の問いに答えよ．ただし，必要ならば， $3.1 < π < 3.2$ であることを用いてよい．

(1)　開区間 $(2 n π - 2 π, 2 n π)$ において，関数 $f (x)$ の増減を調べ，極値を求めよ．

(2)　不定積分 $\int f (x) dx$ を求めよ．

(3)　 $0 ≦ x ≦ \frac{π}{6}$ のとき， $\frac{3}{π} x ≦ \sin x ≦ x$ が成り立つことを示せ．

(4)　開区間 $(2 n π - \frac{1}{n π}, 2 n π)$ において，方程式 $f (x) = 0$ はただ $1$ つの実数解をもつことを示せ．

(5)　各自然数 $n$ に対し，(4)で定まった実数解を $p_{n}$ とおく．このとき， $\lim_{n \to \infty} \int_{p_{n}}^{p_{n + 1}} f (x) dx$ を求めよ．

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