2021　同志社大　文系学部2月5日実施MathJax

【１】　次の$$に適する数を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(1)　$3$次方程式$x^3+a{x}^2+3x+b=0$の$1$つの解が$2+\sqrt{3}i$であるとき，実数$a\text{，}$$b$の値は，$a=\text{ア}\text{，}$$b=\text{イ}$である．このとき，この$3$次方程式の実数解は$\text{ウ}$である．

【１】　次の$$に適する数を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(2)　$a=\sqrt{5}-\sqrt{3}$のとき，$A=a^2+{\displaystyle \frac{2^2}{a^2}}\text{，}$$B=a^4+{\displaystyle \frac{2^4}{a^4}}\text{，}$$C=a^6+{\displaystyle \frac{2^6}{a^6}}$の値を計算すると，$A=\text{エ}\text{，}$$B=\text{オ}\text{，}$$C=\text{カ}$と求まる．

【１】　次の$$に適する数を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(3)　辺の長さが$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{BC}=3\sqrt{2}\text{，}$$\mathrm{CD}=2\text{，}$$\mathrm{DA}=\sqrt{2}$の四角形$\mathrm{ABCD}$は，円$I$に内接している．このとき，$\mathrm{\angle ABC}=\text{キ}\text{，}$線分$\mathrm{AC}$の長さは$\text{ク}\text{，}$円$I$の半径は$\text{ケ}\text{，}$四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$\text{コ}$である．

【２】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．

$a_1=2\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{2a_n+1}{a_n+2}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n-1}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とおく．このとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　$c_n={\left({\displaystyle \frac{a_n+1}{a_n-1}}\right)}^2$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とおく．このとき，$c_n>{10}^{20}$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．ただし，$0.477<{\log }_{10}3<0.478$であることを証明なしで用いてもよい．

【３】　$2$つの$2$次関数$f(x)\text{，}$$g(x)$があり，$f(x)$の$x^2$の係数は$-1\text{，}$$g(x)$の$x^2$の係数は$1$であるとする．$p$を正の実数としたときに，$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}$$(0,p)\text{，}$$\mathrm{B}$$(p,0)$をとる．

　曲線$y=f(x)$は$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通るとし，点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$における曲線$y=f(x)$の接線をそれぞれ$l\text{，}$$m$とおく．また，曲線$y=g(x)$は点$\mathrm{B}$を通り，点$\mathrm{B}$における曲線$y=g(x)$の接線は，曲線$y=f(x)$の接線$m$と一致するとする．接線$l$と曲線$y=g(x)$の共有点のうち，$x$座標の値が小さい方の点を$\mathrm{C}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$を$x\text{，}$$p$を用いて表せ．また，接線$l$の方程式と接線$m$の方程式をそれぞれ求めよ．

(2)　関数$g(x)$を$x\text{，}$$p$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{▵OAC}$の面積と$\mathrm{▵OBC}$の面積の比が$1:\sqrt{2}$であるとする．このとき，$p$の値を求めよ．

(4)　$p$を(3)で求めた値とするとき，線分$\mathrm{AC}$と曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．