2021　同志社大　理系学部2月7日実施MathJax

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．

(1)　$2$つの袋$\alpha$と$\beta$には，いずれにも，番号のついていない白玉$6$個と赤玉$3$個の合計$9$個の玉が入っている．袋の中の玉とは別に，白玉$2$個と赤玉$2$個を用意して，すべてに$1$の番号をつける．これら$4$個から$2$個を無作為に選び，選んだ$2$個を袋$\beta$に追加で入れる．最初，袋$\alpha$に対して，玉を$1$個取り出して色を調べたらもとに戻す試行を考える．$n$を自然数として，赤玉がちょうど$n$回出るまでこの試行を繰り返す．$n=3$のとき，白玉がちょうど$1$回出る確率と白玉がちょうど$2$回出る確率は，それぞれ$\text{ア}$と$\text{イ}$である．$n\geqq 3$のとき，白玉がちょうど$2$回出る確率を$p_n$とすると，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{p_{n+1}}{p_n}}=\text{ウ}$である．次に，袋$\beta$に対して，玉を$1$個取り出す試行を考える．白玉が出る事象を$A\text{，}$$1$の番号のついた玉が出る事象を$B$とするとき，確率$P(A)=\text{エ}\text{，}$条件付き確率$P_A(B)=\text{オ}$である．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．

(2)　実数の定数$c$に対して，$2$次方程式$x^2-2x+c=0$は$2$つの虚数解$\alpha \text{，}$$\beta$をもち，$\alpha$の虚部は$\sqrt{3}$である．このとき，$c=\text{カ}\text{，}$${\alpha }^9=\text{キ}$である．次に，複素数平面上で考える．$3$点$\mathrm{0}\text{，}$$\alpha \text{，}$$2\beta$を頂点とする三角形の面積は$\text{ク}$である．点$\alpha$を，原点を中心として${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$だけ回転した点を表す複素数を${\alpha }^{\prime }$とすると，${\alpha }^{\prime }$の実部は$\text{ケ}$であり，$3$点$0\text{，}$${\alpha }^{\prime }\text{，}$$2\beta$を頂点とする三角形の面積は$\text{コ}$である．

【２】　$xyz$空間内の$3$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(2,0,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,1,2)$を考える．点$\mathrm{P}$$(x,y,z)$は条件$\left|\overrightarrow{\mathrm{PO}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{PA}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{PB}}\right|$を満たすように動くとする．次の問いに答えよ．

(1)　条件$\left|\overrightarrow{\mathrm{PA}}\right|=|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|$から得られる$x\text{，}$$y\text{，}$$z$の関係式は，$m$と$n$を定数として$mx+y+z=n$と書ける．$m\text{，}$$n$の値を求めよ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{PO}}\right|$の最小値とそのときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$の$x$座標が$0$であるとき，三角錐$\mathrm{POAB}$の体積を求めよ．

【３】　実数$k$は$k<{\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．関数$f(x)=x^2+2kx-\sin x$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$f(0)\text{，}$$f^{\prime }(x)\text{，}$$f^{\prime }(0)$を求めよ．

(2)　実数$x$に対して，不等式$f^{″}(x)>0$が成り立つことを示せ．さらに，方程式$f^{\prime }(x)=0$はただ$1$つの実数解をもち，この実数解は正であることを示せ．

(3)　$f(x)$の増減表を書け．それを用いて，方程式$f(x)=0$は$0$以外の実数解をただ$1$つもつことを示せ．この実数解を$\alpha$とする．$\alpha >0$であることを示せ．また，$\alpha$を$k$の関数と考えたとき，$\underset{k\to \infty }{\lim }\alpha =\infty$であることを示せ．

(4)　(3)の$\alpha$に対して，$x$軸と曲線$y=f(x)$$\text{（}0\leqq x\leqq \alpha \text{）}$で囲まれた部分の面積$S$を$k$を含まない$\alpha$の式で表せ．また，$\alpha >0$において，${\displaystyle \frac{\mathit{dS}}{\mathit{d\alpha }}}>0$であることを示せ．

【４】　$n$を自然数とする．条件

$2^n(x_n+y_n\sqrt{3})={(5-3\sqrt{3})}^{2n-1}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たす$2$つの有理数$x_n\text{，}$$y_n$をそれぞれ第$n$項とする$2$つの数列$\{x_n\}\text{，}$$\{y_n\}$を考える．次の問いに答えよ．ただし，必要ならば，$\sqrt{3}$が無理数であることを証明なしに用いてよい．

(1)　$a$を無理数，$r$を$0$でない有理数とする．このとき，背理法を用いて，積$ar$が無理数であることを示せ．

(2)　$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$ $y_1\text{，}$$y_2$の値をそれぞれ求めよ．

(3)　$x_{n+1}$を$x_n\text{，}$$y_n$を用いて表せ．

(4)　$d_n={x_n}^2-3{y_n}^2$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とする．数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．

(5)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{y_n}{x_n}}$を求めよ．